Enunciado

Calcule a integral trocando a ordem de integração.

∫ 0 8 ∫ y 3 2 e x 4   d x   d y

Passo 1

O primeiro passo é esboçar a região de integração:

Mudando a ordem de integração, temos que y varia de y = 0 até y = x 3 , enquanto x vai de 0 a 2 :

∫ 0 8 ∫ y 3 2 e x 4   d x   d y = ∫ 0 2 ∫ 0 x 3 e x 4 d y   d x

Passo 2

Fazendo a primeira integral em y :

∫ 0 2 ∫ 0 x 3 e x 4 d y   d x = ∫ 0 2 x 3 e x 4 d x

Fazendo u = x 4 , temos que d u = 4 x 3   d x . Assim,

∫ 0 2 x 3 e x 4 d x = 1 4 ∫ 0 16 e u   d u = 1 4 e u 0 16 = 1 4 ( e 16 - 1 )

Resposta

1 4 ( e 16 - 1 )

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Inverta a ordem de integração.
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