Enunciado

Calcule o volume do conjunto dado. (Sugerimos ao leitor desenhar o conjunto.)

Passo 1

Pelo teorema de Fubini, tem-se que o volume de um conjunto é dado por

V = ∫ ∫ B f x ,   y d x d y

Ou:

V = ∫ a b ∫ c y d y f x ,   y d x d y = ∫ c d ∫ a x b x f x ,   y d y d x

Onde f x ,   y = z .

Neste caso, z é limitada por duas funções e, logo, o volume é definido pela diferença entre elas.

Além disso, B é dado no enunciado pela inequação 0 ≤ y ≤ 1 - x 2 . Observando o esboço do conjunto mostrado a seguir:

Os limites de integração podem ser dados por:

- 1 ≤ x ≤ 1

E

0 ≤ y ≤ 1 - x 2

Passo 2

Logo, o volume será dado por:

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x 2 - 0 d y d x

V = ∫ - 1 1 ∫ 0 1 - x 2 1 - x 2 d y d x

Resolvendo a integral em relação à y :

V = ∫ - 1 1 y - x 2 y | y = 1 - x 2 y = 0 d x

Substituindo o intervalo de integração:

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - x 2 ( 1 - x 2 ) d x

V = ∫ - 1 1 1 - x 2 - x 2 + x 4 d x

V = ∫ - 1 1 x 4 - 2 x 2 + 1 d x

Passo 3

Agora, integrando em relação à x :

V = x 5 5 - 2 x 3 3 + x | x = 1 x = - 1

Passo 4

Substituindo o intervalo de integração:

V = 1 5 - 2 3 + 1 - - 1 5 + 2 3 - 1

V = 2 5 - 4 3 + 2 = 6 - 20 + 30 15

V = 16 15

Resposta

16 15

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