Enunciado

Calcule a integral e verifique sua resposta por diferenciação.

∫ 1 + s e n 2 θ   c o s s e c θ d θ

Passo 1

Faaaala, belezinhas do Responde Aí!! Pra começarmos esse exercício, algumas coisas são essenciais. Por exemplo, precisamos lembrar do Teorema 5.2 . 3 (na página 325 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e usar o caso adequado para o exercício em questão. Visto que o enunciado não dá a fórmula a ser usada, temos que ver a Tabela 5.2 . 1 (na página 324 do livro CÁLCULO VOL. 1 - 10ª ED - ANTON) e procurar a fórmula que possa ser usada.

Passo 2

Então, agora temos que fazer as mudanças necessárias no integrando para facilitar o nosso cálculo.

Visto que o segundo termo do integrando não possui uma fórmula de integração definida na Tabela 5.2 . 1 , precisamos lembrar que a função seno é o inverso da função cossecante e vice-versa, ou seja:

∫ 1 + s e n 2 θ   c o s s e c θ d θ = ∫ 1 + s e n 2 θ 1 s e n θ d θ

∫ 1 + s e n 2 θ   c o s s e c θ d θ = ∫ 1 + s e n θ d θ

Além disso, a integral em si se identifica com o caso b do Teorema 5.2 . 3 e o primeiro termo do integrando se encaixa no caso a . Portanto:

∫ 1 + s e n θ d θ = ∫ d θ + ∫ s e n θ   d θ

Passo 3

Com isso, usando a fórmula adequada da Tabela de integração, temos:

∫ d θ + ∫ s e n θ   d θ = θ + - cos ⁡ θ + C

Ou seja:

∫ d θ + ∫ s e n θ   d θ = θ - cos ⁡ θ + C

Passo 4

Como foi pedido no enunciado, é necessário verificar essa resposta pela diferenciação, ou seja, através da derivação.

Derivando esse último resultado:

d d θ θ - cos ⁡ θ + C = 1 - - s e n θ + 0

d d θ θ - cos ⁡ θ + C = 1 + s e n θ

Podemos reescrever isso como:

d d θ θ - cos ⁡ θ + C = 1 + s e n θ s e n θ s e n θ = 1 + s e n 2 θ   c o s s e c 2 θ

Que é o mesmo valor do integrando inicial.

Resposta

∫ 1 + s e n 2 θ   c o s s e c θ d θ = θ - cos ⁡ θ + C

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