Enunciado

45-54. Usando a regra de L’Hôspital (Seção 3.6), podemos conferir que:

lim x → + ∞ ⁡ e x x = + ∞ ,   lim x → + ∞ ⁡ x e x = 0 ,   lim x → - ∞ ⁡ x e x = 0

Nestes exercícios:

a) Use esses limites, se necessário, para obter limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ .

b) Esboce o gráfico de f x e identifique todos os extremos relativos, os pontos de inflexão e as assíntotas (conforme o caso). Confira seu trabalho com um recurso gráfico.

47. f x = x 2 e - 2 x

Passo 1

a) Então galera, temos que a função que nos foi dada é a seguinte:

f x = x ² e - 2 x

Se calcularmos os limites de f x quando x → + ∞ e x → + - ∞ , teremos:

lim x → + ∞ ⁡ x ² e - 2 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x ² e - 2 x = + ∞

Show! Primeira parte finalizada!

Passo 2

b) Caso não se lembre, para identificarmos os pontos de extremos relativos de uma função devemos fazer uma análise dos pontos críticos da mesma, isto é, analisar os pontos em que f ' x = 0 ou os pontos em que f ' x não existe! Ademais, para identificarmos os pontos de inflexão devemos fazer a mesma análise dos extremos, mas agora para f ' ' x = 0 , ok? Vamo que vamo!

Derivando a nossa função, teremos:

f ' x = 2 x . e 2 x - 2 x 2 . e 2 x e 4 x

f ' x = 2 e 2 x x - x 2 e 4 x = 2 x 1 - x e 2 x

Aqui vale ressaltar que utilizamos a regra do quociente para a derivação, ok? Igualando nossa derivada a zero, teremos:

2 x 1 - x e 2 x = 0

Como e 2 x não pode ser zero, a única forma disso resultar em zero é se:

2 x 1 - x = 0

Se 2 x = 0 temos:

2 x = 0

x = 0

E se 1 - x = 0 temos:

1 - x = 0

x = 1

Então esses são os nossos possíveis pontos de extremos, galera!

Passo 3

Os pontos de inflexão de uma função são os pontos no qual a função muda de concavidade, ou seja, sai de f ' ' x > 0 e vira f ' ' x < 0 e vice-versa! Derivando a nossa derivada, teremos:

f ' ' x = 2 1 - 2 x . e 2 x - 2 x - x 2 . 2 e 2 x e 4 x

Simplificando:

f ' ' x = 2 e 2 x - 4 x e 2 x - 4 x e 2 x + 4 x 2 e 2 x e 4 x = 4 x 2 e 2 x - 8 x e 2 x + 2 e 2 x e 4 x

f ' ' x = 4 x 2 - 8 x + 2 e 2 x

Como e 2 x não pode ser zero, a única forma disso resultar em zero é se:

4 x 2 - 8 x + 2 = 0

Utilizando Bhaskara, temos que:

x = 8 ± - 8 2 - 4 . 4.2 2 . 4 = 8 ± 3 2 8

x 1 ≈ 0,29   e   x 2 ≈ 1,71

Então esses são os nossos pontos de inflexão, galera!

Passo 4

Substituindo os valores de x que encontramos na nossa função, teremos:

f 0 = 0

f 1 = 0,14

f 0,29 = 0,05

f 1,71 = 0,10

Show! Encontramos todos os dados solicitados pelo enunciado, pessoal! Por fim, se plotarmos o gráfico da função, teremos:

E está aí nossa resolução! 😉

Resposta

a) lim x → + ∞ ⁡ x ² e - 2 x = 0

lim x → - ∞ ⁡ x ² e - 2 x = + ∞

b) Pontos de extremos relativos: x = 0   e   x = 1 ;

Pontos de inflexão: x = 0,29   e   x = 1 , 71 ;

Gráfico:

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