Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

2 1 0 0 2 1 0 0 2

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 2 1 0 0 2 1 0 0 2 =

2 1 0 0 2 1 0 0 2 =

2 x 2 x 2 + 1 x 1 x 0 + 0 x 0 x 0 - 0 x 2 x 0 - 0 x 1 x 2 - 2 x 0 x 1 = 8

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

2 1 0 0 2 1 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1

Vamos começar dividindo as três linhas por 2:

1 1 / 2 0 0 1 1 / 2 0 0 1 1 / 2 0 0 0 1 / 2 0 0 0 1 / 2

Agora iremos multiplicar a terceira linha por ½ e subtrair da segunda linha:

1 1 / 2 0 0 1 0 0 0 1 1 / 2 0 0 0 1 / 2 - 1 / 4 0 0 1 / 2

Vamos agora multiplicar a segunda linha por ½ e subtrair da primeira linha:

1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 / 2 - 1 / 4 1 / 8 0 1 / 2 - 1 / 4 0 0 1 / 2

Então, a matriz inversa é:

1 / 2 - 1 / 4 1 / 8 0 1 / 2 - 1 / 4 0 0 1 / 2

Resposta

A matriz inversa é:

1 / 2 - 1 / 4 1 / 8 0 1 / 2 - 1 / 4 0 0 1 / 2

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