Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 0 0 - 1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 - 1 1

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então, vamos ao exercício.

Passo 2

Antes de calcular o determinante da matriz precisamos reduzir sua ordem. Para isso vamos aplicar a regra de Chió. Ela é dada por:

Encontramos um coeficiente igual a 1. Então selecionamos a linha e a coluna do coeficiente. Dos termos que restaram devemos subtrair a multiplicação dos termos correspondentes na linha e coluna que retiramos. Vamos fazer pegar um termo para exemplificar:

O termo na matriz original é 1. Na coluna em que ele estava retiramos o número -1 e, na linha em que ele estava retiramos o número 0. Tudo bem???

Na matriz reduzida este termo será 1 - - 1 x 0 = 1 . Fez sentido agora? Vamos então determinar a matriz reduzida:

- 1 - 0 x 0 1 - 0 x 0 0 - - 1 x 0 0 - 0 x ( - 1 ) 1 - 0 x ( - 1 ) 0 - - 1 x ( - 1 ) 1 - 0 x 0 1 - 0 x 0 1 - 0 x ( - 1 ) =

- 1 1 0 0 1 - 1 1 1 1

Agora que temos uma matriz 3x3 podemos calcular o determinante:

det ⁡ - 1 1 0 0 1 - 1 1 1 1 =

- 1 1 0 0 1 - 1 1 1 1 =

- 1 x 1 x 1 + 1 x - 1 x 1 + 0 x 0 x 1 - 1 x 1 x 0 - 1 x - 1 x - 1 - 1 x 0 x 1 = - 3

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 0 0 - 1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 0 0 - 1 0 - 1 1 0 - 1 0 1 0 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

Vamos começar somando a primeira linha na terceira linha:

1 0 0 - 1 0 - 1 1 0 0 0 1 - 1 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Agora iremos multiplicar a segunda linha por -1:

1 0 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 1 - 1 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1

Vamos agora subtrair a segunda linha da quarta linha:

1 0 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1

Iremos agora somar a quarta linha na terceira:

1 0 0 - 1 0 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 - 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1

Nosso próximo passo será somar a quarta linha na primeira:

1 0 0 0 0 1 - 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 - 1 0 0 1 1 1 1 0 1 0 1

Agora, vamos somar a terceira linha na segunda linha:

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Então, a matriz inversa é:

1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

Resposta

A matriz inversa é:

1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1

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Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular: 2 1 0 0 2 1 0 0 2