Enunciado

Calcule a inversa da matriz dada ou mostre que ela é singular:

1 4 - 2 3

Passo 1

Vamos primeiro recordar o que é a matriz inversa. Uma matriz B é chamada de inversa de A se:

A B = B A = I

Em que I é a matriz identidade. A condição básica para que exista a matriz inversa é que det ⁡ A ≠ 0 . Caso det ⁡ A = 0 , a matriz A é chamada de singular e é não-inversível. Tudo bem??

Então vamos ao exercício.

Passo 2

Nosso primeiro passo será calcular o determinante da matriz dada:

det ⁡ 1 4 - 2 3 =

1 4 - 2 3 =

1 x 3 - - 2 x 4 = 12

Então, a matriz é inversível. Vamos agora determinar a matriz inversa.

Passo 3

O método mais comum é o seguinte:

1 4 - 2 3 1 0 0 1

Espelhar a matriz e a identidade. Em seguida vamos tentar transformar a matriz na matriz identidade:

1 4 - 2 3 1 0 0 1

Vamos começar multiplicando a primeira linha por 2 e então somar na segunda linha. Assim, ficamos com:

1 4 0 11 1 0 2 1

Agora iremos dividir a segunda linha por 11:

1 4 0 1 1 0 2 / 11 1 / 11

Vamos agora multiplicar a segunda linha por 4 e subtrair da primeira linha:

1 0 0 1 3 / 11 - 4 / 11 2 / 11 1 / 11

Então, a matriz inversa é:

3 / 11 - 4 / 11 2 / 11 1 / 11

Resposta

A matriz inversa é:

3 / 11 - 4 / 11 2 / 11 1 / 11

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