Se A = 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 e B = 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 , encontre

(a) 2A + B

(b) A - 4B

(c) A \* B

(d) BA

Passo 1

Para começar vamos relembrar algumas propriedades de matrizes:

Imagine duas matrizes A = a 11 a 12 a 21 a 22 e B = b 11 b 12 b 21 b 22

Se multiplicamos uma matriz por um número:

2 A = 2 a 11 a 12 a 21 a 22 = 2 a 11 2 a 12 2 a 21 2 a 22

É equivalente a multiplicar todos os coeficientes da matriz.

Outra propriedade é a soma de matrizes. Esta operação só pode ser feita se as duas matrizes possuem o mesmo número de linhas e colunas. E é dada por:

A + B = a 11 a 12 a 21 a 22 + b 11 b 12 b 21 b 22 = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 21 + b 21 a 22 + b 22

Ou seja, a soma de matrizes gera uma nova matriz com o mesmo tamanho das matrizes que a geraram e cada termo é a soma dos termos equivalentes nas matrizes originárias.

Vamos rever agora a multiplicação de matrizes. A primeira coisa que precisamos saber é que a ordem dos fatores é importante, ou seja, A B ≠ B A . Além disso, para realizar esta operação é necessário que o número de colunas da primeira matriz seja igual ao número de linhas da segunda. Esta operação é descrita por:

A B = a 11 a 12 a 21 a 22 b 11 b 12 b 21 b 22 =

a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 = C

Ou você pode pensar que o termo c i j da matriz c é:

c i j = ∑ k = 1 n a i k x b k j

Agora que já recordamos algumas propriedades de matrizes iremos aplicá-las para resolver os problemas propostos. Tudo bem???

Passo 2

Temos as matrizes A = 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 e B = 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 . O item (a) nos pede para calcular 2 A + B :

2 A + B =

2 x 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 + 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 =

2 - 4 0 6 4 - 2 - 4 2 6 + 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 =

2 + 4 - 4 - 2 0 + 3 6 - 1 4 + 5 - 2 + 0 - 4 + 6 2 + 1 6 + 2 =

2 A + B = 6 - 6 3 5 9 - 2 2 3 8

Vamos agora para o item (b). Ele nos pede para obter A - 4 B :

A - 4 B =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 - 4 x 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 + - 16 8 - 12 4 - 20 0 - 24 - 4 - 8 =

1 - 16 - 2 + 8 0 - 12 3 + 4 2 - 20 - 1 + 0 - 2 - 24 1 - 4 3 - 8 =

A - 4 B = - 15 6 - 12 7 - 18 - 1 - 26 - 3 - 5

Passo 3

Vamos agora para os itens (c) e (d) que tratam de multiplicação de matrizes. O item (c) pede para determinar A B . Vamos lá???

A B =

1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 =

1 x 4 + - 2 x - 1 + 0 x 6 1 x ( - 2 ) + - 2 x 5 + 0 x 1 1 x 3 + - 2 x 0 + 0 x 2 3 x 4 + 2 x ( - 1 ) + - 1 x 6 3 x - 2 + 2 x 5 + - 1 x 1 3 x 3 + 2 x 0 + - 1 x 2 - 2 x 4 + 1 x ( - 1 ) + 3 x 6 - 2 x ( - 2 ) + 1 x 5 + 3 x 1 - 2 x 3 + 1 x 0 + 3 x 2 =

A B = 6 - 12 3 4 3 7 9 12 0

E finalmente, o item (d) pede para determinar B A :

B A =

4 - 2 3 - 1 5 0 6 1 2 1 - 2 0 3 2 - 1 - 2 1 3 =

4 x 1 + - 2 x 3 + 3 x - 2 4 x - 2 + - 2 x 2 + 3 x 1 4 x 0 + - 2 x - 1 + 3 x 3 - 1 x 1 + 5 x 3 + 0 x - 2 - 1 x - 2 + 5 x 2 + 0 x 1 - 1 x 0 + 5 x - 1 + 0 x 3 6 x 1 + 1 x 3 + 2 x - 2 6 x - 2 + 1 x 2 + 2 x 1 6 x 0 + 1 x - 1 + 2 x 3 =

B A = - 8 - 9 11 14 12 - 5 5 - 8 5

Resposta

(a) 2 A + B = 6 - 6 3 5 9 - 2 2 3 8

(b) A - 4 B = - 15 6 - 12 7 - 18 - 1 - 26 - 3 - 5

(c) A B = 6 - 12 3 4 3 7 9 12 0

(d) B A = - 8 - 9 11 14 12 - 5 5 - 8 5

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