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Calcule.

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 1

Passo 1

Vamos lá, para resolver esse limite vamos multiplicar e dividir a expressão do limite pelo conjugado de x - x 2 + 1 :

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 1 ⋅ x + x 2 + 1 x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 + x x 2 + 1 - x x 2 + 1 - x 2 + 1 2 x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 2 + 1 x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ x 2 - x 2 - 1 x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 x + x 2 + 1

Agora vamos usar a propriedade da divisão e da soma:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre na expressão da raíz:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x 2 1 + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ 1 + 1 x 2

Por último vamos usar a propriedade da multiplicação:

lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ 1 + 1 x 2 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separamente.

Passo 2

Primeiro no numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → + ∞ ⁡ - 1 = - 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos:

lim x → + ∞ ⁡ x = + ∞

Já no segundo limite temos 1 x 2 que tende a zero para x → + ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 2 vai está:

lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = 1 + 0 = 1 = 1

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 1 = lim x → + ∞ ⁡ - 1 lim x → + ∞ ⁡ x + lim x → + ∞ ⁡ x ⋅ lim x → + ∞ ⁡ 1 + 1 x 2 = - 1 ∞ + ∞ . 1 = - 1 ∞ = 0

Lembre que k ± ∞ = 0 , onde k é uma constante.

Resposta

lim x → + ∞ ⁡ x - x 2 + 1 = 0

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