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Um investidor aplica seu dinheiro em uma instituição financeira que remunera o capital investido de acordo com a equação d C d t = 0,08 C .

a )   Supondo que o capital investido no instante t = 0 seja C 0 , determine o valor do capital aplicado no instante t .

b ) Qual o rendimento mensal que o investido está auferido? ( S u p o n h a   t dado em meses)

Passo 1

Por Equações Diferenciais Lineares de 1ª Ordem entendemos uma equação do tipo:

d C d t = C g t + f t

Teremos esse resultado:

C = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Precisamos deixar nesse formato então:

d C d t = 0,08 C

Então, f t = 0

Passo 2

Agora precisamos achar um fator integrante e multiplicar dos dois lados, sendo um o lado que tem apenas os termos com C e o outro lado o f t , o fator integrante será:

e - ∫ g t d t

Para o nosso caso o fator integrante será:

e - ∫ 0,08 d t = e - 0,08 t

Assim fazemos:

d C d t - C g t = f t

d C d t - C g t e - ∫ g t d t = f t e - ∫ g t d t

Vemos que d C d t - C g t e - ∫ g t d t nada mais é que uma derivada do produto do tipo:

d C e - ∫ g t d t d t = d C d t - C g t e - ∫ g t d t

Assim:

d C e - ∫ g t d t d t = f t e - ∫ g t d t

Agora faremos integral dos dois lados:

∫ d C e - ∫ g t d t d t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

C e - ∫ g t d t + k = ∫ f t e - ∫ g t d t d t

Como k é uma contante, tanto faz o sinal que colocamos:

C e - ∫ g t d t = ∫ f t e - ∫ g t d t d t + k

Por fim:

C = k e ∫ g t d t + e ∫ g t d t ∫ f t e - ∫ g t d t d t k ∈ R

Passo 3

Para o nosso caso teremos:

C = k e 0,08 t + e 0,08 t ∫ 0 e - 0,08 t d t = k e 0,08 t

Agora precisamos achar o valor de k , para isso camos usar a informação dada que C 0 = C 0 :

C 0 = k e 0,08 0 = k

Substituindo:

C = C 0 e 0,08 t

Passo 4

Para achar o quanto ele ganha por mês, faremos a diferença entre o valor de C para t = 0 e para t = 1 :

∆ C = C 1 - C 0 = C 0 e 0,08 1 - C 0 e 0,08 0 = C 0 ( e 0,08 - 1 ) = 0,083287

Ou seja:

8,3287 %   a . m .

Resposta

a ) C = C 0 e 0,08 t

b )   8,3287 %   a . m .

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