Enunciado

Calcule.

underset(x -> - oo)(lim) root(3)((x)/(x^2 + 3))

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> - oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Temos que podemos de cara usar a propriedade da raíz nesse limite:

underset(x -> p)(lim) root(n)(f (x)) = root(n)(underset(x -> p)(lim) f (x)) = root(n)(L) , desde que L > 0 se n for par

Aplicando:

underset(x -> - oo)(lim) root(3)((x)/(x^2 + 3)) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 + 3))

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador da expressão:

root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 + 3)) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (x)/(x^2 (1 + (3)/(x^2)))) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x (1 + (3)/(x^2))))

Vamos usar agora a propriedade do produto, da divisão e da soma:

root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x (1 + (3)/(x^2)))) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) * underset(x -> - oo)(lim) (1)/(1 + (3)/(x^2))) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> - oo)(lim) 1)/(underset(x -> - oo)(lim) 1 + (3)/(x^2))) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> - oo)(lim) 1)/(underset(x -> - oo)(lim) 1 + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2)))

Pronto, vamos então resolver os limites dentro da raíz.

Passo 2

Para o primeiro limite temos (1)/(x) que tende a zero para x -> - oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) = 0

Vamos agora para o segundo, calculando os do numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> - oo)(lim) 1 = 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> - oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> - oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2) = 3 * underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2) = 3 * 0 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> - oo)(lim) root(3)((x)/(x^2 + 3)) = root(3)(underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) * (underset(x -> - oo)(lim) 1)/(underset(x -> - oo)(lim) 1 + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2))) = root(3)(0 * (1)/(1 + 0)) = root(3)(0 * 1) = 0

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) root(3)((x)/(x^2 + 3)) = 0

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Determine o limite QUOTE _x0001_
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Determine o limite lim x → 7 ⁡ 4 x - 7 2
underset(x - - oo)(lim) (root(3)(x) - 5 x + 3)/(2 x + x^((2)/(4)) - 4)
lim x → ∞ ⁡2 x 5 3 - x 1 3 + 7 x 8 5 + 3 x +x