Calcule.

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → - ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.

Temos que podemos de cara usar a propriedade da raíz nesse limite:

lim x → p ⁡ f x n = lim x → p ⁡ f x n = L n , desde que L > 0 se n for par

Aplicando:

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3 = lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador da expressão:

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3 = lim x → - ∞ ⁡ x x 2 1 + 3 x 2 3 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x 1 + 3 x 2 3

Vamos usar agora a propriedade do produto, da divisão e da soma:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 1 + 3 x 2 3 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 1 + 3 x 2 3 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 lim x → - ∞ ⁡ 1 + 3 x 2 3 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 lim x → - ∞ ⁡ 1 + lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 3

Pronto, vamos então resolver os limites dentro da raíz.

Passo 2

Para o primeiro limite temos 1 x que tende a zero para x → - ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x vai está:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

Vamos agora para o segundo, calculando os do numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → - ∞ ⁡ 1 = 1

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → - ∞ ⁡ 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x 2 que também tende a zero para x → - ∞ :

lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 = 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 3 ∙ 0 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3 = lim x → - ∞ ⁡ 1 x ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 lim x → - ∞ ⁡ 1 + lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 3 = 0 ∙ 1 1 + 0 3 = 0 ∙ 1 3 = 0

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ x x 2 + 3 3 = 0

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