Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por

f x = x 2 sen ⁡ 1 x     s e     x ≠ 0 0     s e     x = 0

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de f x - f 0 x - 0 quando x tende a zero, sabendo que f x = x 2 sen ⁡ 1 x     s e     x ≠ 0 0     s e     x = 0 .

Então, usando a condição de x ≠ 0 , vamos ter f x = x 2 sen ⁡ 1 x e para x = 0 , temos f 0 = 0 . Substituindo isso em f x - f 0 x - 0 , vamos calcular nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, vamos ter:

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x - 0 x - 0

Logo,

= lim x → 0 ⁡ x 2 sen ⁡ 1 x x = lim x → 0 ⁡ x sen ⁡ 1 x

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos percerber que temos a função seno na nossa expressão. E a função seno se limita entre os valores - 1,1 . Assim, temos:

- 1 ≤ sen ⁡ 1 x ≤ 1

Agora vamos multiplicar tudo por x , deixando a função igual a do limite:

- x ≤ x sen ⁡ 1 x ≤ x

E aplicando o limite, teremos:

l i m x → 0 - x ≤ l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x ≤ l i m x → 0   ( x )

Então, quando x tende a zero, vamos ter:

0 ≤ l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x ≤ 0

Assim, pelo Teorema do Confronto, podemos dizer que:

l i m x → 0   x sin ⁡ 1 x = 0

Portanto, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 = 0

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