Enunciado

Calcule, caso existe, underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) em que f é dada por

f (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]])

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite de (f (x) - f (0))/(x - 0) quando x tende a zero, sabendo que f (x) = {[[x^2 sen (1)/(x) s e x != 0],[0 s e x = 0]]) .

Então, usando a condição de x != 0 , vamos ter f (x) = x^2 sen (1)/(x) e para x = 0 , temos f (0) = 0 . Substituindo isso em (f (x) - f (0))/(x - 0) , vamos calcular nosso limite.

Vamos lá!

Passo 2

Como vimos no passo anterior, vamos ter:

underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = underset(x -> 0)(lim) (x^2 sen (1)/(x) - 0)/(x - 0)

Logo,

= underset(x -> 0)(lim) (x^2 sen (1)/(x))/(x) = underset(x -> 0)(lim) x sen (1)/(x)

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos percerber que temos a função seno na nossa expressão. E a função seno se limita entre os valores [- 1,1] . Assim, temos:

- 1 <= sen (1)/(x) <= 1

Agora vamos multiplicar tudo por x , deixando a função igual a do limite:

- x <= x sen (1)/(x) <= x

E aplicando o limite, teremos:

underset(x -> 0)(l i m) (- x) <= underset(x -> 0)(l i m) x sin ((1)/(x)) <= underset(x -> 0)(l i m) ( x )

Então, quando x tende a zero, vamos ter:

0 <= underset(x -> 0)(l i m) x sin ((1)/(x)) <= 0

Assim, pelo Teorema do Confronto, podemos dizer que:

underset(x -> 0)(l i m) x sin ((1)/(x)) = 0

Portanto, underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = 0 .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> 0)(lim) (f (x) - f (0))/(x - 0) = 0

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