Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + root(3)(x))/(x^2 + 3)

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos usar a propriedade da divisão:

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + root(3)(x))/(x^2 + 3) = (underset(x -> + oo)(lim) sqrt(x) + root(3)(x))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 + 3) = (underset(x -> + oo)(lim) x^((1)/(2)) + x^((1)/(3)))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 + 3)

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador da expressão:

(underset(x -> + oo)(lim) x^((1)/(2)) + x^((1)/(3)))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 + 3) = (underset(x -> + oo)(lim) x^2 ((1)/(x^((3)/(2))) + (1)/(x^((5)/(3)))))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 (1 + (3)/(x^2)))

Vamos aplicar a propriedade da multiplicação e da soma:

(underset(x -> + oo)(lim) x^2 ((1)/(x^((3)/(2))) + (1)/(x^((5)/(3)))))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 (1 + (3)/(x^2))) = (underset(x -> + oo)(lim) x^2 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + (1)/(x^((5)/(3))))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * underset(x -> + oo)(lim) 1 + (3)/(x^2)) = (underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2)))

Aqui vamos fazer uma manipulação com o numerador e o denominador, vamos pegar os dois limites que tem a expressão x^2 e juntar eles em um limite só:

(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/(underset(x -> + oo)(lim) x^2 * (underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2))) = (underset(x -> + oo)(lim) x^2)/(underset(x -> + oo)(lim) x^2) * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/((underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) (x^2)/(x^2) * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/((underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2))) = underset(x -> + oo)(lim) 1 * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/((underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2)))

Pronto, agora fica simples, vamos então resolver os limites separadamente.

Passo 2

No numerador, para o primeiro limite temos (1)/(x^((3)/(2))) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^((3)/(2))) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) = 0

No segundo limite temos (1)/(x^((5)/(3))) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^((5)/(3))) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3))) = 0

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> + oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2) = 3 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^2) = 3 * 0 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + root(3)(x))/(x^2 + 3) = underset(x -> + oo)(lim) 1 * ((underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((3)/(2))) + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x^((5)/(3)))))/((underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x^2))) = 1 * ((0 + 0))/((1 + 0)) = 1 * 0 = 0

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (sqrt(x) + root(3)(x))/(x^2 + 3) = 0

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