Enunciado

Determine uma função que satisfaça as condições dadas e trace seu gráfico.

lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 ,   l i m x → 2 + f x = ∞ e l i m x → 2 - f x = ∞

Passo 1

O primeiro passo é olhar o tipo de resposta que o limite apresenta, ou seja, se zero, um número ou . Com isso, nós podemos ver qual tipo de função se encaixa melhor para cada caso.

Na questão temos que, lim x → ± ∞ ⁡ f x = 0 ,   isso significa que uma divisão de polinômios, onde o grau do polinômio de baixo fosse maior que grau o do polinômio de cima, cairia bem já que nesses casos, quando x → ∞ o limite dará 0 . Veja no exemplo abaixo:

lim x → ± ∞ ⁡ x 2 + 2 x + 7 x 3 - 2 x = lim x → ± ∞ ⁡ x 2 x 3 + 2 x x 3 + 7 x 3 x 3 x 3 - 2 x x 3 =     lim x → ± ∞ ⁡ 1 x + 2 x 2 + 7 x 3 1   - 2 x 2

=   l i m x → ± ∞ 1 x + 2 x 2 + 7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 - 2 x 2 =   l i m x → ± ∞ 1 x +   l i m x → ± ∞ 2 x 2 +   l i m x → ± ∞ 7 x 3 l i m x → ± ∞ 1 - l i m x → ± ∞ 2 x 2 = 0 +   0 + 0 1 - 0 = 0 1 = 0 .

Passo 2

O segundo passo é perceber que l i m x → - 2 - f x = ∞ = l i m x → 2 + f x e isso quer dizer que em x = 2 , f x tem um “probleminha”. Com isso, temos que   f x provavelmente é uma divisão de polinômios, que quando substituímos x = 2 o denominador zera.

Passo 3

O terceiro passo é lembrar que l i m x → 2 + f x = ∞ = l i m x → 2 - f x ,ou seja, independente de

x > 2 ou x < 2 a resposta sempre dará um número positivo, então temos que escrever f ( x ) de um jeito que sempre fique positiva, elevando ao quadrado, por exemplo.

Dessa forma,

f x = 1 2 - x 2

O que é TOP pois,

lim x → ± ∞ 1 2 - x 2 ⁡ = lim x → ± ∞ ⁡ 1 4 - 2 x + x 2 =     lim x → ± ∞ ⁡ 1 x 2 4 x 2 - 2 x x 2   - x 2 x 2

= l i m x → ± ∞ 1 x 2 l i m x → ± ∞ 4 x 2 - l i m x → ± ∞ 2 x   - l i m x → ± ∞ 1 = 0 0 - 0 - 1 = 0 - 1 = 0 .

E,

l i m x → 2 - f x =   l i m x → 2 - 1 2 - x 2 = 1 2 - 2 2 = 1 0 = ∞

Além disso,

l i m x → 2 + f x =   l i m x → 2 + 1 2 - x 2 = 1 2 - 2 2 = 1 0 = ∞

Resposta

f x = 1 2 - x 2

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