Enunciado

Calcule.

underset(x -> + oo)(lim) (2 x + 1)/(x + 3)

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> + oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

underset(x -> + oo)(lim) (2 x + 1)/(x + 3) = underset(x -> + oo)(lim) (x (2 + (1)/(x)))/(x (1 + (3)/(x))) = underset(x -> + oo)(lim) (2 + (1)/(x))/(1 + (3)/(x))

Temos que podemos usar a propriedade da divisão e da soma nesse limite:

underset(x -> + oo)(lim) (2 + (1)/(x))/(1 + (3)/(x)) = (underset(x -> + oo)(lim) 2 + (1)/(x))/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + (3)/(x)) = (underset(x -> + oo)(lim) 2 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x))/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x))

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 2 = 2

No segundo temos (1)/(x) que tende a zero para x -> + oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 0

No terceiro temos o limite de uma função constante novamente, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> + oo)(lim) 1 = 1

E no último podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x) que também tende a zero para x -> + oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x) = 3 * underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x) = 3 * 0 = 0

Passo 3

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> + oo)(lim) (2 x + 1)/(x + 3) = (underset(x -> + oo)(lim) 2 + underset(x -> + oo)(lim) (1)/(x))/(underset(x -> + oo)(lim) 1 + underset(x -> + oo)(lim) (3)/(x)) = (2 + 0)/(1 + 0) = 2

Resposta

underset(x -> + oo)(lim) (2 x + 1)/(x + 3) = 2

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