Enunciado

Calcule

underset(x -> - 1)(lim) root(3)((x^3 + 1)/(x + 1))

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f (x) = root(3)((x^3 + 1)/(x + 1)) quando x se aproxima de - 1 .

Repare que substituindo x = - 1 na função, temos uma indeterminação do tipo (0)/(0) . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar fatorar a nossa expressão, simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Observe que temos um polinômio de terceiro grau no numerador da nossa função, que tem a forma a^3 + b ³ . Então podemos usar a seguinte fórmula de fatoração:

a^3 + b^3 = ( a^2 - a b + b^2 ) ( a + b )

Assim, para a = x e b = 1 , vamos obter:

x^3 + 1^3 = (x^2 - x * 1 + 1^2) (x + 1) = ( x^2 - x + 1 ) ( x + 1 )

Passo 3

Agora vamos substituir essa forma fatorada do numerador na função do limite:

underset(x -> - 1)(lim) root(3)((x^3 + 1)/(x + 1)) = underset(x -> - 1)(lim) root(3)(((x^2 - x + 1) (x + 1))/(x + 1))

Simplificando, temos:

= underset(x -> - 1)(lim) root(3)(x^2 - x + 1)

Pronto, agora é só necessário substituir o valor - 1 na expressão:

underset(x -> - 1)(lim) root(3)(x^2 - x + 1)

= root(3)((- 1)^2 - (- 1) + 1)

= root(3)(1 + 1 + 1)

= root(3)(3)

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

underset(x -> - 1)(lim) root(3)((x^3 + 1)/(x + 1)) = root(3)(3)

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