Calcule

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x + 1 3

Passo 1

Fala, galera! Tudo bem? Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular o limite da função f x = x 3 + 1 x + 1 3 quando x se aproxima de - 1 .

Repare que substituindo x = - 1 na função, temos uma indeterminação do tipo 0 0 . Então, pra fugir dessa indeterminação, vamos tentar fatorar a nossa expressão, simplificar o resultado e conseguir aplicar o valor do limite.

Vamos lá!

Passo 2

Observe que temos um polinômio de terceiro grau no numerador da nossa função, que tem a forma a 3 + b ³ . Então podemos usar a seguinte fórmula de fatoração:

a 3 + b 3 = ( a 2 - a b + b 2 ) ( a + b )

Assim, para a = x e b = 1 , vamos obter:

x 3 + 1 3 = x 2 - x ∙ 1 + 1 2 x + 1 = ( x 2 - x + 1 ) ( x + 1 )

Passo 3

Agora vamos substituir essa forma fatorada do numerador na função do limite:

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x + 1 3 = lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 x + 1 x + 1 3

Simplificando, temos:

= lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 3

Pronto, agora é só necessário substituir o valor - 1 na expressão:

lim x → - 1 ⁡ x 2 - x + 1 3

= - 1 2 - - 1 + 1 3

= 1 + 1 + 1 3

= 3 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

lim x → - 1 ⁡ x 3 + 1 x + 1 3 = 3 3

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