Calcule.

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 3 3 x 2 + x + 1

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo 1 x n que tendem a zero para x → - ∞ , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

lim x → - ∞ ⁡ x 2 - 2 x + 3 3 x 2 + x + 1 = lim x → - ∞ ⁡ x 2 1 - 2 x + 3 x 2 x 2 3 + 1 x + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 2 x + 3 x 2 3 + 1 x + 1 x 2

Temos que podemos usar a propriedade da divisão, da soma e da subtração nesse limite:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 2 x + 3 x 2 3 + 1 x + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - 2 x + 3 x 2 lim x → - ∞ ⁡ 3 + 1 x + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - lim x → - ∞ ⁡ 2 x + lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 lim x → - ∞ ⁡ 3 + lim x → - ∞ ⁡ 1 x + lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

Calculando os do numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → - ∞ ⁡ 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x que também tende a zero para x → - ∞ :

lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ 2 x = 2 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 2 ∙ 0 = 0

No terceiro limite usamos também a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com 1 x 2 que também tende a zero para x → - ∞ :

lim x → p ⁡ k f x = k lim x → p ⁡ f x

lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 = 3 ∙ lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 3 ∙ 0 = 0

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

lim x → p ⁡ k = k

lim x → - ∞ ⁡ 3 = 3

No segundo temos 1 x que tende a zero para x → - ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x vai está:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x = 0

E no terceito temos 1 x 2 que tende a zero para x → - ∞ , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero 1 x 2 vai está:

lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 2 x + 3 x 2 3 + 1 x + 1 x 2 = lim x → - ∞ ⁡ 1 - lim x → - ∞ ⁡ 2 x + lim x → - ∞ ⁡ 3 x 2 lim x → - ∞ ⁡ 3 + lim x → - ∞ ⁡ 1 x + lim x → - ∞ ⁡ 1 x 2 = 1 - 0 + 0 3 + 0 + 0 = 1 3

Resposta

lim x → - ∞ ⁡ 1 - 2 x + 3 x 2 3 + 1 x + 1 x 2 = 1 3

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