Enunciado

Calcule.

underset(x -> - oo)(lim) (x^2 - 2 x + 3)/(3 x^2 + x + 1)

Passo 1

Vamos analisar esse limite, geralmente devemos fazer manipulações para ficar com expressões do tipo (1)/(x^n) que tendem a zero para x -> - oo , pois assim fica simples de resolver o limite.

Vamos colocar em evidência a mais alta potência de x que ocorre tanto no numerador quanto no denominador:

underset(x -> - oo)(lim) (x^2 - 2 x + 3)/(3 x^2 + x + 1) = underset(x -> - oo)(lim) (x^2 (1 - (2)/(x) + (3)/(x^2)))/(x^2 (3 + (1)/(x) + (1)/(x^2))) = underset(x -> - oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (3)/(x^2))/(3 + (1)/(x) + (1)/(x^2))

Temos que podemos usar a propriedade da divisão, da soma e da subtração nesse limite:

underset(x -> - oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (3)/(x^2))/(3 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) = (underset(x -> - oo)(lim) 1 - (2)/(x) + (3)/(x^2))/(underset(x -> - oo)(lim) 3 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) = (underset(x -> - oo)(lim) 1 - underset(x -> - oo)(lim) (2)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2))/(underset(x -> - oo)(lim) 3 + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2))

Vamos resolver eles separadamente.

Passo 2

Calculando os do numerador:

No primeiro temos o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> - oo)(lim) 1 = 1

Já no segundo limite podemos usar a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x) que também tende a zero para x -> - oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> - oo)(lim) (2)/(x) = 2 * underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) = 2 * 0 = 0

No terceiro limite usamos também a propriedade da constante vezes a função, onde a constante pode sair para fora do limite e vamos ficar com (1)/(x^2) que também tende a zero para x -> - oo :

underset(x -> p)(lim) k f (x) = k (underset(x -> p)(lim) f (x))

underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2) = 3 * underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2) = 3 * 0 = 0

Passo 3

Agora no denominador:

No primeiro temos também o limite de uma função constante, que a resposta é essa constante:

underset(x -> p)(lim) k = k

underset(x -> - oo)(lim) 3 = 3

No segundo temos (1)/(x) que tende a zero para x -> - oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x) vai está:

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) = 0

E no terceito temos (1)/(x^2) que tende a zero para x -> - oo , pois quanto maior o valor de x , mais próximo de zero (1)/(x^2) vai está:

underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2) = 0

Passo 4

Por último é só juntar os resultados e pronto:

underset(x -> - oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (3)/(x^2))/(3 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) = (underset(x -> - oo)(lim) 1 - underset(x -> - oo)(lim) (2)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (3)/(x^2))/(underset(x -> - oo)(lim) 3 + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x) + underset(x -> - oo)(lim) (1)/(x^2)) = (1 - 0 + 0)/(3 + 0 + 0) = (1)/(3)

Resposta

underset(x -> - oo)(lim) (1 - (2)/(x) + (3)/(x^2))/(3 + (1)/(x) + (1)/(x^2)) = (1)/(3)

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