Enunciado

A reta r intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B . Determine a distância entre A e B sabendo-se que r passa pelos pontos 1,2 e 3,1 .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a distância entre os pontos A e B , sabendo que a reta r , que intercepta os eixos coordenados nos pontos A e B , passa pelos pontos 1,2 e 3,1 .

Então, para saber a distância entre A e B devemos achar a equação da reta r . Essa equação da reta vai passar pelo ponto genérico x 0 , y 0 e terá um coeficiente angular m , ou seja:

y - y 0 = m x - x 0

Como temos dois pontos que passam pela reta,   1,2 e 3,1 , vamos usar os dois para achar m , fazendo 1,2   = x 0 , y 0 e 3,1   = x , y e substituindo na equação da reta. De posse dessa equação, vamos achar os pontos A e B , substituindo eles na equação da reta. E por fim, vamos calcular a distância pedida através da fórmula da distância entre dois pontos:

d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo 1,2   = x 0 , y 0 e 3,1   = x , y na equação geral da reta:

1 - 2 = m 3 - 1

- 1 = 2 m

m = - 1 2

Encontramos nosso coeficiente angular, agora é só usar o valor de m na equação junto com um dos pontos que passam por ela, vamos usar 1,2   = x 0 , y 0 . Substituindo:

y - 2 = - 1 2 x - 1

y - 2 = - 1 2 x + 1 2

y = - 1 2 x + 1 2 + 2

y = - 1 2 x + 5 2

Pronto! Já temos a equação da reta. Agora vamos calcular a distância entre A e B , sabendo que os pontos A e B são da forma a , 0 e 0 , b .

Passo 3

Então, como é só substituir os pontos na equação da reta, com B = 0 , b , temos:

b = - 1 2 x + 5 2

b = - 1 2 ∙ 0 + 5 2

b = 5 2

Com A = a , 0 , vamos ter:

y = - 1 2 x + 5 2 → 0 = - 1 2 a + 5 2

1 2 a = 5 2

a = 5

Temos então que A = 5,0 e B = 0 , 5 2 .

Agora que sabemos os pontos, podemos achar a distância.

Passo 4

Para calcular a distância entre eles vamos usar a seguinte fórmula:

d = x 1 - x 0 2 + y 1 - x 0 2

A distância entre o ponto A = 5,0 e o ponto B = 0 , 5 2 vai ser:

x 1 = 5 e y 1 = 0

x 0 = 0 e y 0 = 5 2

Substituindo na fórmula:

d = 5 - 0 2 + 0 - 5 2 2

d = 5 2 + - 5 2 2

Elevando os termos ao quadrado:

d = 25 + 25 4

d = 125 4

E fatorando, encontramos nossa distância:

d = 5 5 2

Valeu, galera. Até a próxima! 😉

Resposta

d = 5 5 2

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