Calcule o limite, se ele existir. lim x → 0 ⁡ s e n h   x - s e n   x s e n 3   x .

Passo 1

Note que, de primeira vista tando a parte o numerador quanto o denominador, se aplicarmos o limite, vai dar zero, ou seja, uma indeterminação. Neste caso ela cai em uma das indeterminações que podem ser aplicadas L’Hopital.

Passo 2

Com isso, por L’Hopital temos:

lim x → 0 ⁡ s e n h   x - s e n   x s e n 3   x =   lim x → 0 ⁡ c o s h   x - c o s   x 3 s e n 2   x cos ⁡ x

Por L’Hopital novamente,

=   lim x → 0 ⁡ s e n h   x + s e n   x - 3 s e n 3   x + 6 s e n   x cos 2 ⁡ x

Por L’Hopital,

=   lim x → 0 ⁡ c o s h   x + c o s   x - 9 s e n 2   x   c o s x + 6 cos 3 ⁡ x - 12 cos ⁡ x s e n 2 x

Aplicando o limite, temos:

= 1 + 1 0 + 6 - 0 = 2 6 = 1 3  

Resposta

1 3

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