Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2  

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 =   e lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x

Passo 2

Agora temos lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x e aplicando L’Hôpital no limite temos

lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x cos ⁡ x 2 x = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 2 x

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 2 x = 1 2

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 =   e lim x → 0 ⁡ 1 x 2 ln ⁡ cos ⁡ x = e lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 2 x = e 1 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x 1 x 2 = e 1 2

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