Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4  

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4 =   e lim x → 0 ⁡ 4 x 4 ln ⁡ cos ⁡ x e x 2 2

Passo 2

Agora temos lim x → 0 ⁡ 4 x 4 ln ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 e aplicando L’Hôpital no limite temos

lim x → 0 ⁡ 4 x 4 ln ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x e x 2 2 x e x 2 2 cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 cos ⁡ x

Passo 3

Aplicando algumas manipulações e propriedades de limites para então L’Hôpital novamente no limite por ainda termos a indeterminação 0 0 .

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 cos ⁡ x = lim x → 0 ⁡ 1 cos ⁡ x lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 = 1 lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3

lim x → 0 ⁡ x cos ⁡ x - sin ⁡ x x 3 =   lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x - cos ⁡ x - x sin ⁡ x 3 x 2 = lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 3 x

Passo 4

Resolvendo o limite temos.

lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 3 x = - 1 3

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4 =   e lim x → 0 ⁡ 4 x 4 ln ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 = e lim x → 0 ⁡ - sin ⁡ x 3 x = e - 1 3

Resposta

lim x → 0 ⁡ cos ⁡ x e x 2 2 4 x 4 = e - 1 3

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