Calcule o limite, se existir.

lim x → 0 ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x

Passo 1

Como se trata de uma indeterminação 1 ∞ , vamos aplicar algumas manipulações para chegar na indeterminação ∞ ∞ ou 0 0 . Dessa forma vamos aplicar o exponencial de logaritmo natural na expressão.

e lim x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x =   e lim 2 x x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + sinh ⁡ x

Passo 2

Agora temos lim 2 x x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + sinh ⁡ x e aplicando L’Hôpital temos

lim 2 x x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + sinh ⁡ x = 2 lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x 1 + sinh ⁡ x

Passo 3

Resolvendo o limite temos.

2 lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x 1 + sinh ⁡ x = 2

lim x → 0 ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x =   e   lim 2 x x → 0 ⁡ ln ⁡ 1 + sinh ⁡ x = e 2 lim x → 0 ⁡ cosh ⁡ x 1 + sinh ⁡ x = e 2

Resposta

lim x → 0 ⁡ 1 + sinh ⁡ x 2 x = e 2

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