Enunciado

90- Função s e n   x t g   x

  1. Faça o gráfico de f x = s e n   x t g   x no intervalo - 7 < x < 7 . Como você explica as lacunas no gráfico? Qual a largura dessas lacunas?
  2. Agora faça o gráfico de f no intervalo 0 ≤ x ≤ π . A função não está definida em   x = π / 2 , mas o gráfico não possui nenhuma interrupção nesse ponto. O que ocorre? Qual valor o gráfico parece atribuir a f em π / 2 ? (Dica: use a regra de l 'Hôpital para determinar lim f quando x → π 2 - e x → π 2 + .)
  3. Retomando os gráficos do item (b ), calcule o valor max f e min f com a maior precisão possível e calcule os valores de x nos pontos em que eles são assumidos.

Passo 1

Letra a)

O motivo das lacunas existirem é por que nesses intervalos temos valores negativo para o seno. E independente do valor da tangente é como se precisássemos fazer uma espécie de raiz do número negativo, e isso não pode ocorrer. Cada lacuna têm valor igual a π .

Passo 2

Letra b)

Se fizermos x → π 2 nós encontramos:

lim x → π 2 ⁡ sin ⁡ x tan ⁡ x = 0 ∞

O que é um caso de indeterminação.

A dica para esse tipo de questão é tirar o l n nos dois lados dessa forma:

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ f x = l n ⁡ ( sin ⁡ x ) tan ⁡ x

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ f x = l n ⁡ ( sin ⁡ x ) tan ⁡ x

lim x → π 2 ⁡ ln ⁡ f x = l n ⁡ ( sin ⁡ x ) c o t g   x = 0 0

Fazendo L’Hopital nessa função temos:

lim x → π 2 ⁡ 1 sin ⁡ x cos ⁡ x - c o s s e c 2 x = cos ⁡ x sin ⁡ x = 0

Mas como estamos analisando o limite para o logaritmo natural da função. Logo:

f x = e 0 = 1 . Logo o limite nesse ponto tende a 1 mesmo sendo um ponto de indeterminação. Ou não...

Passo 3

Letra c)

Fazendo a derivada de ( sin ⁡ x ) t g   x   para igualarmos a zero e encontrar os seus pontos de máximo e mínimo:

y ' = ( sin ⁡ x ) t g   x = e t g   x ln ⁡ sin ⁡ z

Fazendo a derivada disso temos:

y ' = e t g   x ln ⁡ sin ⁡ x × [ sec 2 ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x + t g   x 1 s i n x   + cos ⁡ x ]

y ' = e t g   x ln ⁡ sin ⁡ x × [ sec 2 ⁡ x ln ⁡ sin ⁡ x + 1 ]  

y ' = ( sin ⁡ x ) t g   x 1 + ln ⁡ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x

Como ( sin ⁡ x ) t g   x não pode ser zero só sobra para quando 1 + ln ⁡ sin ⁡ x cos 2 ⁡ x for zero. Para isso precisamos fazer o método de Newton uma vez que encontrar analiticamente esses números será bastante complicado. Uma função possível de se analisar seria:

f x = ln ⁡ sin ⁡ x + cos 2 ⁡ x

O método de Newton tem a seguinte forma:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n

A derivada de f ( x ) será:

f ' x = c o t g x - s i n ⁡ ( 2 x )

E testando para os pontos x = 0.5 e x = 2.5 temos (escolhemos esses pontos pois são números fáceis e longe de π / 2 que seria solução e que como vimos não nos atende).:

Para x = 0.5 :

Como nosso f ( x ) apontou zero na calculadora, logo o valor mais preciso de ponto crítico que conseguimos encontrar é 0.467620649

Agora para x = 2.5

Como nosso erro deu zero, logo o valor mais preciso que encontramos com a calculadora para o outro ponto crítico é de 2.673972004

Note como no primeiro ponto todas as f ' deram positivo, sendo um ponto de mínimo local. Agora para o outro todos os f ' deram negativos, sendo um ponto de máximo.

Passo 4

Plotando o gráfico temos esses pontos:

Resposta

Letra b) y π 2 = 1 , esse ponto parece ser um ponto de inflexão.

Letra c)

0.468 ; 0.669 → m í n i m o

2.674 ; 1.495 → m á x i m o

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Calcule, caso existe, lim x → 0 ⁡ f x - f 0 x - 0 em que f é dada por f x = x 2 sen ⁡ 1 x s e x ≠ 0 0 s e x = 0
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ e x - 1 - x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 1 ⁡ ln ⁡ x sen ⁡ π
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → ∞ ⁡ ln ⁡ ln ⁡ x x
Encontre o limite. Use a Regra de L'Hôspital quando for apropriado. Se existir um método mais elementar, use-o. Se a Regra de L'Hôspital não for aplicável, explique por quê. lim x → 0 ⁡ x 2 1 - cos ⁡