Enunciado

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.

lim x → 8 ⁡ ( 1 + x 3 ) ( 2 - 6 x 2 + x 3   )

Passo 1

Faaala meus queridos,

Nessa questão vamos calcular o limite dado que é:

lim x → 8 ⁡ ( 1 + x 3 ) ( 2 - 6 x 2 + x 3   )

Usando as propriedades dos limites.

Repara que temos aí uma multiplicação entre fatores e a soma/diferença de termos, além de uma raíz.

Dessa forma, vamos usar a propriedade da multiplicação de limites, da soma/diferença de limites e por fim da raíz no limite.

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a propriedade da multiplicação dos limites que é dada por:

lim x → a ⁡ f x × g x = lim x → a ⁡ f x × lim x → a ⁡ g x

Assim, temos que:

lim x → 8 ⁡ ( 1 + x 3 ) ( 2 - 6 x 2 + x 3   ) = lim x → 8 ⁡ 1 + x 3 × lim x → 8 ⁡ ( 2 - 6 x 2 + x 3 )

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença dos limites que é dada por:

lim x → a ⁡ f x ± g x = lim x → a ⁡ f x ± lim x → a ⁡ g x

Assim, temos que:

i lim x → 8 ⁡ 1 + x 3 = lim x → 8 ⁡ 1 + lim x → 8 ⁡ x 3

  ii lim x → 8 ⁡ ( 2 - 6 x 2 + x 3 ) = lim x → 8 ⁡ 2 - lim x → 8 ⁡ 6 x 2 + lim x → 8 ⁡ x 3

Passo 4

Aplicando o limite nos termos de ( i ) temos:

lim x → 8 ⁡ 1 = 1

Afinal, temos que o limite de uma constante é a própria constante

lim x → a ⁡ c = c

E aqui vamos aplicar que o limite da raíz é a raíz do limite

lim x → 8 ⁡ x 3 = lim x → 8 ⁡ x 3 = 8 3 = 2

Assim, ( i ) , é dado por:

lim x → 8 ⁡ 1 + lim x → 8 ⁡ x 3 = 1 + 2 = 3

Passo 5

Aplicando o limite nos termos da ( i i ) temos:

lim x → 8   ⁡ 6 x 2 = 6 8 2 = 384

lim x → 8 ⁡ x 3 = 8 3 = 512

Aqui usamos que o limite de uma potência é a potência do limite, sendo assim, você pode colocar o limite para dentro da potência.

E por fim, como já vimos, o limite da constante é a própria constante.

lim x → 8 ⁡ 2 = 2  

Assim, ( i i ) é dado por:

lim x → 8 ⁡ 2 - lim x → 8 ⁡ 6 x 2 + lim x → 8 ⁡ x 3 = 2 - 384 + 512 = 130

Passo 6

Multiplicando os resultados de ( i ) e ( i i ) , obtemos:

lim x → 8 ⁡ 1 + x 3 2 - 6 x 2 + x 3   =

= lim x → 8 ⁡ 1 + x 3 × lim x → 8 ⁡ 2 - 6 x 2 + x 3 =

= 3 × 130 = 390

Resposta

390

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