Enunciado

Calcule o limite justificando cada passagem com as Propriedades dos Limites que forem usadas.

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2

Passo 1

Eaee, belezinha??? Bom... a questão quer que a gente calcule o seguinte limite:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2

A gente até poderai simplesmente substituir o valor de t por 2 , mas a questão também pede pra justificar cada passagem com as propriedade dos limites.

Como estamos entrando nesse conteúdo agora, vamos devagarinho... para sabermos o que está acontecendo, certo?

Então, vamos analizar as características da função que tempos ali no limite para saber quais as propriedade mais adequadas para usar em cada situação.

Então bora junto resolver!! 😉

Passo 2

Primeiro vamos aplicar a propriedade do expoente para limites. Temos que:

lim x → ⁡ f x n = [ lim x → a ⁡ f ( x ) ] n

Ou seja, podemois passar o limite para a base quando houver um expotente.

Logo:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2 = lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2

Passo 3

Agora vamos aplicar a propriedade do quociente dos limites que é dada por:

lim x → a ⁡ f x g x = lim x → a ⁡ f x lim x → a ⁡ g x   ,     s e lim x → a ⁡ g x ≠ 0

Assim, temos que:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 = lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 lim t → 2 ⁡ t 3 - 3 t + 5

Passo 4

Agora vamos aplicar a propriedade da soma e da diferença dos limites que é dada por:

lim x → a ⁡ f x ± g x = lim x → a ⁡ f x ± lim x → a ⁡ g x

Assim, temos no numerador:

i lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 = lim t → 2 ⁡ t 2 - lim t → 2 ⁡ 2

E no denominador:

ii   lim t → 2 ⁡ t 3 - 3 t + 5 = lim t → 2 ⁡ t 3 - lim t → 2 ⁡ 3 t + lim t → 2 ⁡ 5

Passo 5

Aplicando o limite nos termos de ( i ) temos:

lim t → 2 ⁡ t 2 = 2 2 = 4

lim t → 2 ⁡ 2 = 2

dado que

lim x → a ⁡ c = c

seja c uma constante

Assim, ( i ) , é dado por:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2

= lim t → 2 ⁡ t 2 - lim t → 2 ⁡ 2

= 4 - 2 = 2

Passo 6

Aplicando o limite nos termos da ( i i ) temos:

lim t → 2   ⁡ t 3 = 2 3 = 8

lim t → 2 ⁡ 3 t = 3 2 = 6

lim t → 2 ⁡ 5 = 5

dado que

lim x → a ⁡ c = c

seja c uma constante

Assim, ( i i ) é dado por:

  lim t → 2 ⁡ t 3 - 3 t + 5

= lim t → 2 ⁡ t 3 - lim t → 2 ⁡ 3 t + lim t → 2 ⁡ 5

= 8 - 6 + 5 = 7

Passo 7

Dividindo os resultados de ( i ) e ( i i ) , obtemos:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 lim t → 2 ⁡ t 3 - 3 t + 5 = 2 7

Passo 8

Por fim, temos então que:

lim t → 2 ⁡ t 2 - 2 t 3 - 3 t + 5 2 = 2 7 2

= 4 49

Resposta

4 49

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