Calcule o limite:

lim t → 0 ⁡ t g 1 - s e n ( t ) t

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

lim x → x 0 ⁡ s e n x = s e n ( lim x → x 0 ⁡ x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x 0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, 0 0 ou ∞ ∞ por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor t = 0 na função. Sendo assim, temos:

lim x → 0 ⁡ t g 1 - s e n ( t ) t = t g lim t → 0 ⁡ 1 - s e n t t

t g lim t → 0 ⁡ 1 - s e n t t = t g 1 - lim t → 0 ⁡ s e n t t

Vejamos abaixo o que ocorre com o lim t → 0 ⁡ s e n t t :

lim t → 0 ⁡ s e n t t = s e n ( 0 ) 0 = 0 0

Portanto, chegamos a uma indeterminação.

Passo 3

Esta indeterminação que chegamos é um dos limites fundamentais. Sempre que chegarmos a ele, podemos substituir o seu valor diretamente, o qual é:

lim t → 0 ⁡ s e n t t = 1

Logo, temos:

t g 1 - 1 = t g 0 = 0

Portanto, o valor do nosso limite é 0 .

Resposta

lim t → 0 ⁡ t g 1 - s e n ( t ) t = 0

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados