Enunciado

64. Seja f   uma função cujo domínio seja o conjunto de todos os números reais e f a + b = f a . f ( b ) para todo a   e   b . Além disso, suponha que f 0 = 1   e   f ´ 0   e x i s t a .Prove que f ( x ) existe para todo x e que f ´ x = f ´ 0 . f ( x )

Passo 1

Antes de começar a resolver está questão, ela nos parece bem complicada e trabalhosa. Porém, ao lê o enunciado com calma e utilizar todas informações contidas no mesmo percebe-se que não trata-se de uma questão de extrema complexidade. Primeiramente, ele nos pede para mostrar que a função que respeita seguinte condição f a + b = f a . f ( b ) para todo a   e   b existe para todo x. Logo após, o enunciado nos pede que provamos que f ´ x = f ´ 0 . f x . O segundo pedido dele será provado utilizando-se do conceito de definição de derivada e de informações contidas no enunciado da própia questão.

Passo 2

Fazendo a   =   0   e   b   =   x , vem:

f a + b = f a . f b

f 0 + x = f 0 . f ( x )

f x = f 0 . f ( x )

Como do enunciado temos que f ( 0 )   =   1 , temos:

f x = f ( x ) ,

o que sempre é verdade. Logo, existe f ( x ) para todo x.

Passo 3

Sabemos da definição de derivada que:

f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x

Do enunciado temo que f a + b = f a . f b para todo a e b. Assim, fazendo a   =   x e b   =   ∆ x , temos f x + ∆ x = f x . f ( ∆ x ) .

f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x + ∆ x - f ( x ) ∆ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x f ∆ x - 1 ∆ x

Com isso, ,

Como do enunciado temos que f ( 0 )   =   1 , vem que f ´ x = lim ∆ x → 0 ⁡ f x f ∆ x - f ( 0 ) ∆ x .

Assim , f ´ x = f x . lim ∆ x → 0 ⁡ f ∆ x - f ( 0 ) ∆ x = f x . f ´ ( 0 ) .

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule f ' x onde f x é igual a cos ⁡ x + x 2 + 1 sen ⁡ x
Seja g x = x x 2 + 1 .Determine os pontos do gráfico de g em que as retas tangentes, nestes pontos, sejam paralelas ao eixo x .Estude o sinal de g ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ g x e lim x → - ∞ ⁡ g x .U
Seja f x = x 3 + 3 x 2 + 1 .Estude o sinal de f ' x .Calcule lim x → + ∞ ⁡ f x e lim x → - ∞ ⁡ f x .Utilizando as informações acima, faça um esboço do gráfico de f .
Calcule f ' x . f x = 4 + 5 x 2 ln ⁡ x
Seja f x = sen ⁡ x + cos ⁡ x , 0 ≤ x ≤ 2 π .Estude o sinal de f ' x .Faça um esboço do gráfico de f .