Enunciado

Calcule o limite:

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6))

Passo 1

Relembrando que as funções polinomiais, racionais, raízes, trigonométricas e exponenciais são funções contínuas em todo o seu domínio, temos uma propriedade dos limites que permite que ele entre na função contínua. Veja abaixo um exemplo:

underset(x -> x_0)(lim) s e n (x) = s e n ( underset(x -> x_0)(lim) x )

Para resolvermos limites, o primeiro passo é aplicar o valor x_0 na função e analisar se há uma indeterminação ou não. Caso não ocorra, temos a nossa solução! Agora, se uma indeterminação aconteceu, (0)/(0) ou (oo)/(oo) por exemplo, teremos um probleminha a mais para resolver. Sendo assim, precisaremos realizar algumas manipulações algébricas para que eliminemos os termos que causam a indeterminação.

Está complexo? Não se assuste e vamos resolver calmamente. Quando necessário trabalhar com indeterminação, resolveremos calmamente.

Passo 2

Conforme descrito anteriormente, o nosso primeiro passo é aplicar o valor theta = pi // 6 na função. Sendo assim, temos:

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6)) = (s e n ((pi)/(6)) - (1)/(2))/((pi)/(6) - (pi)/(6))

(s e n ((pi)/(6)) - (1)/(2))/((pi)/(6) - (pi)/(6)) = (0)/(0)

Chegamos numa indeterminação. Desta forma, precisamos encontrar uma forma de trabalhar com esta indeterminação.

Passo 3

Ao invés de fazermos operações algébrica, observe que o nosso limite pode ser escrito da seguinte forma:

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6)) = underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - s e n ((pi)/(6)))/(theta - (pi)/(6))

Do jeito que está escrito, o limite lembra alguma operação? E se a gente ver o seguinte limite:

underset(x -> x_0)(lim) (f (x) - f ( x_0 ))/(x - x_0)

E agora? Reconheceu? O limite que estamos querendo resolver nada mais é do que a derivada da função seno aplicada no ponto theta = pi // 6 ! Portanto, basta derivar a função e aplicar neste ponto!

Passo 4

Desta forma, para resolver este limite, vamos usar a estratégia da derivada.

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6)) = (d)/(d x) (s e n (x)) (​|_x = (pi)/(6) = cos (x) (​|_x = (pi)/(6)

cos ((pi)/(6)) = (sqrt(3))/(2)

Portanto,

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6)) = (sqrt(3))/(2)

Resposta

underset(theta -> pi // 6)(lim) (s e n (theta) - (1)/(2))/(theta - (pi)/(6)) = (sqrt(3))/(2)

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