Enunciado

Calcule os limites aplicando os limites fundamentais.

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x

Passo 1

Pra calcular esse limite, a gente vai ter que fazer aparecer o limite fundamental que a gente conhece de sempre:

lim y → 0 ⁡ s e n y y = 1

Esse y pode ser qualquer coisa, só importa que esteja igual no numerador e no denominador!

Passo 2

De uma forma geral, é mais fácil fazer aparecer o limite fundamental sem mexer no seno. Vamos fazer assim, multiplicando por a x e por b x em cima e embaixo, desse jeito:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = lim x → 0 ⁡ a x b x a x b x × s e n   a x s e n   b x

Rearrumando,

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = lim x → 0 ⁡ a x b x × s e n   a x a x × b x s e n   b x

Cortando o x e botando o a b pra fora:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = a b lim x → 0 ⁡ s e n   a x a x × b x s e n   b x

Podemos separar esse limite em um produto:

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = a b lim x → 0 ⁡ s e n   a x a x × lim x → 0 ⁡ b x s e n   b x

O primeiro é o limite fundamental direto, e o segundo é o limite fundamental de cabeça pra baixo, que também dá 1 . Assim,

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = a b

Acabou!

Resposta

lim x → 0 ⁡ s e n   a x s e n   b x = a b

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