Calcule ∫ C   ( x y + y + z ) d s ao longo da curva r(t) = 2t*i + t*j + (2 - 2t)k, 0 <= t <= 1

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral ∫ ( x y + y + z ) d s sobre uma curva C , dada pela equação de reta parametrizada por r → ( t ) = 2 t i → + t j ‾ + ( 2 - 2 t ) k → com 0 ≤ t ≤ 1 devemos lembrar da teoria encontrada na página 363 .

Passo 2

Assim, a integral ∫ c   ( x y - y + z ) d s pode ser escrita como: ∫ 0 1   f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) d r ‾ d t d t , onde f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) Esta é uma função contínua em C e d r → d t a velocidade instantânea sobre a curva C .Sendo a f ( x , y , z ) calculada para x ( t ) y ( t ) + y ( t ) + z ( t ) , com x = 2 t ,   y = t e z = 2 - 2 t , igual a f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) = x y + y + z = 2 t t + t + ( 2 - 2 t ) = 2 t 2 + t + 2 - 2 t = 2 t 2 - t + 2 .

Passo 3

Sendo a velocidade: v → = d r → d t = 2 i → + j → - 2 k → e o módulo de v → igual a d r → d t = | 2 i → + j → - 2 k → | = 2 2 + 1 1 + ( - 2 ) 2 = 3 .

Passo 4

Com isso, podemos agora voltar na forma da integral dada por ∫ 0 1   f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) d r ‾ d t d t .Fazendo as substituiç̃̃es de f ( 2 t , t , 2 - 2 t ) e d r → d t calculados anteriormente, chegamos ao resultado da questão que é:

∫ 0 1   2 t 2 - t + 2 3 d t = 2 t 3 3 - t 2 2 + 2 t 3 0 1 = 3 2 3 - 1 2 + 2 = 13 2

Resposta

Resposta nos passos.

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