Calcule ∫ C   x 2 y 4 / 3 d s , onde C é a curva x = t^2, y = t^3 , para 1 <= t <= 2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Para calcularmos a integral ∫ c   x 2 y 4 / 3 d s sobre uma curva C , dada pelo seguimento de reta x = t 2 e y = t 3 c o m 1 ≤ t ≤ 2 devemos lembrar que, de acordo com a teoria da página 363 , a integral de linha é calculada como ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t , onde f ( x , y ) = x 2 y 4 / 3 é uma função contínua em C e d r → d t a velocidade instantânea sobre a curva C .

Passo 2

Precisamos agora encontrar o vetor posição que localiza cada ponto sobre a curva C em relação a origem do sistema de coordenadas que é dado por r → = x i → + y j → .Sendo x = t 2 e y = t 3 , podemos escrever r → = t 2 i → + t 3 j → , com 1 ≤ t ≤ 2 .

Passo 3

Como f ( x , y ) = x 2 y 4 / 3 = t 2 2 t 3 4 / 3 = t 4 t 4 = 1 e d r → d t = 2 t i ‾ + 3 t 2 j → , temos que o módulo da velocidade é:

d r → d t = ( 2 t ) 2 + 3 t 2 2 = 4 t 2 + 9 t 4 = t 2 4 + 9 t 2 = t 4 + 9 t 2

Podemos agora voltar a forma da integral dada por ∫ C   f ( x , y ) d r → d t d t Fazendo as substituições de f ( x , y ) e d r → d t calculados anteriormente, teremos então que:

∫ 1 2   1 t 4 + 9 t 2 d t = ∫ 1 2   t 4 + 9 t 2 d t

Passo 4

A integral ∫ 1 2   t 4 + 9 t 2 d t é resolvida por substituição, como segue:Se considerarmos u = 4 + 9 t 2 e d u = 18 t d t podemos escrever que:

∫ 1 2   t 4 + 9 t 2 d t = ∫   1 18 u 1 / 2 d u = 2 54 u 3 / 2 = 1 27 u 3 / 2

Logo, o resultado da integral é:

∫ 1 2   t 4 + 9 t 2 d t = 1 27 4 + 9 t 2 3 / 2 1 2 = 1 27 40 3 / 2 - 13 3 / 2

Resposta

∫ 1 2   t 4 + 9 t 2 d t = 1 27 40 3 / 2 - 13 3 / 2

Exercícios de Livros Relacionados