Enunciado

Determine o trabalho realizado pelo campo de força F → ao mover um objeto de P a Q .

F → x , y = e - y i → - x e - y j → ;       P 0 , 1 ,   Q ( 2,0 )

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Pra mostrar que aquela integral independe do caminho precisamos saber se o campo vetorial F → é conservativo.

Mas como? Calma que eu explico!

Um campo conservativo é aquele no qual as derivadas mistas das componentes são iguais, saca só. Se F → é:

F → = F x i → + F y j →

Então para ser conservativo tem que satisfazer isso aqui:

∂ F x ∂ y = ∂ F y ∂ x

Ok? Vamos aplicar para o campo dado? Bora lá:

∂ F x ∂ y = ∂ e - y ∂ y = - e - y

E também:

∂ F y ∂ x = ∂ - x e - y ∂ x = - e - y

Beleza! Esse campo vetorial é conservativo! Vamos agora determinar a função potencial associada a ele!

E temos que o valor da integral de caminho vai depender apenas da função potencial aplicada nos pontos final e inicial.

Passo 2

Vamos primeiro pegar uma das parciais, por exemplo ∂ F x / ∂ x e integrar em relação à x :

∫ ∂ F x ∂ x = ∫ ( e - y ) d x

Isso vai nos dar a função potencial f mais uma constante só de y , digamos g ( y ) (pois derivando em relação à x ela desaparece, sacou?):

f = x e - y + g y

Pronto! Essa é a função potencial!

Tá, mas e aquela função de y ali? Calma, no próximo passo vamos determinar ela!

Passo 3

Legal! O próximo passo é derivar a função potencial determinada em relação à y :

∂ f ∂ y = - x e - y + g ' ( y )

Ta, mas e agora? Agora olha o pulo do gato! Vamos resgatar do passo 1 a componente y do campo dado:

F y = - x e - y + g ' ( y )

E agora vamos igualar os dois lados!

- x e - y = - x e - y + g ' ( y )

Beleza! Agora integrando em relação à y determinamos a função g y :

g ' x = 0

∫ g ' ( y ) d y = ∫ 0 d y = + C

g y = C

Onde C é uma constante qualquer.

Agora sim! Juntando com o resultado do passo 2 temos a função potencial completa:

f = x e - y + C

Passo 4

Show! Agora temos que o ponto inicial é ( 0 , 1 ) e a função nesse ponto é:

f 0 , 1 = 0 . e - 1 + C = C

Agora temos que o ponto inicial é ( 2,0 ) e a função nesse ponto é:

f 2,0 = 2 . e 0 + C = 2 + C

Beleza! Agora sabemos que para um campo conservativo:

∫ C F → ⋅ d r → = f f i n a l - f i n i c i a l = 2 + C - C = 2

É isso! O valor de ∫ C F → ⋅ d r → é 2 !

Resposta

∫ C F → ⋅ d r → = 2

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Calcule ∫ γ d x + d y , onde γ é o poligonal de vértice A 0 = 0,0 , A 1 = 1,2 , A 2 = - 1,3 , A 3 = - 2,1 e A 4 = - 1 , - 1 , sendo γ orientada de A 0 para A 4 .
Calcule ∫ γ x 2 d x + y 2 d y + z 2 d z onde γ é a curva do Exercício 5.
Calcule ∫ γ x - y d x + e x + y d y , onde γ é a fronteira do trinângulo de vértice 0,0 ,0,1 e 1,2 , orientada no sentido antí-horário.
Calcule ∫ γ y 2 d x + x d y - d z , onde γ é o poligonal de vértices A 0 = 0,0 , 0 , A 1 = 1,1 , 1 e A 2 = 1,1 , 0 , orientada de A 0 para A 2 .
Calcule ∫ γ F → ⋅ d r → , onde F → x , y = x + y 2 j → e γ é a curva do Exercício 1.