4 ) Calcule integração de linha sobre γ de F dγ onde γ é uma curva fechada, simples, C^1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e F(x, y) = (2x + y)i + (3x - y)j

Passo 1

Queremos

∮ γ F   d γ  

Logo podemos usar o teorema de green, afinal

∮ γ F   d γ   =   ∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Uma ideia para resolvermos essa integral é usar o lado direito desse teorema

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 2

Sabendo que

P =   2 x + y

Q =   3 x - y

Podemos então calcular as derivadas parciais

∂ Q ∂ x =   ∂ ∂ x 3 x - y → 3

∂ P ∂ y =   ∂ ∂ y 2 x + y → 1

Passo 3

Assim nossa integração fica

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

∬ K 3 - 1   d x d y

2 ∬ K d x d y

Essa integral é um calculo de área, vamos chamar essa área de k. Logo nosso calculo fica

2 k

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ F   d γ   = 2 k

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