Enunciado

4 ) Calcule ∮ γ F   d γ   onde γ é uma curva fechada, simples, C 1 por partes, cuja imagem é a fronteira de um compacto B e F   x , y   = 2 x + y i + 3 x - y j

Passo 1

Queremos

∮ γ F   d γ  

Logo podemos usar o teorema de green, afinal

∮ γ F   d γ   =   ∮ γ P d x + Q d y   = ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Uma ideia para resolvermos essa integral é usar o lado direito desse teorema

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

Passo 2

Sabendo que

P =   2 x + y

Q =   3 x - y

Podemos então calcular as derivadas parciais

∂ Q ∂ x =   ∂ ∂ x 3 x - y → 3

∂ P ∂ y =   ∂ ∂ y 2 x + y → 1

Passo 3

Assim nossa integração fica

∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ y   d x d y

∬ K 3 - 1   d x d y

2 ∬ K d x d y

Essa integral é um calculo de área, vamos chamar essa área de k. Logo nosso calculo fica

2 k

Terminamos por aqui. Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ γ F   d γ   = 2 k

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2 ) Sejam γ1 a poligonal de vértices A, B, C, D orientada no sentido antihorário e γ2 a poligonal de vértices H, G, F, E orientada no sentido horário.Suponha P e Q de classe C1 num aberto contendo K,
5) Seja K a região abaixo e γ a fronteira de K orientada no sentido antihorário. Sejam P e Q de classe C1 num aberto contendo K.Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ K ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x d y ( Sugestao : D
3 ) Seja B o conjuntoe seja γ a fronteira de B orientada no sentido anti-horário. Suponha P (x,y) e Q (x, y) de classe C1 num aberto Ω contendo B. Prove que ∮ γ P d x + Q d y= ∬ B ∂ Q ∂ x - ∂ P ∂ yd x
(Teorema de Green para um círculo.) Seja B o círculo de centro na origem e raio r . Seja γ t = r cos ⁡ t , rs e nt , 0 ≤ t ≤ 2 π . Suponha que P e Q sejam de classe C 1 num aberto Ω contendo B . Prove
Seja K o triangulo a seguir e γ a fronteira de K orientada no sentido anti-horário. Sejam P ( x ,y ) e Q ( x ,y ) de classe C 1 num aberto contendo K .Prove que ∮ γ P d x + Q d y = ∫ ∫ K ∂ Q d x - ∂ P