Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 15.9 - Ex. 21
a) Calcule , onde é o sólido limitado pelo elipsoide . Utilize a transformação , , .
b) A Terra não é perfeitamente esférica; como resultado da rotação, os polos foram achatados. Assim, seu formato pode ser aproximado por um elipsoide com e . Use o item (a) para estimar o volume da Terra.
c) Se o sólido do item (a) tiver densidade constante k, encontre seu momento de inércia em relação ao eixo z.
Passo 1
Olhando para equação dada
Sabemos que ela representa um elipsoide, visto em nossas aulas de geometria analítica, na qual os tamanhos máximo em cada eixo são , , e respectivamente em .
Passo 2
(a) A mudança de coordenada sugerida que nos levam para o espaço vem para transformar nosso elipsoide em uma esfera, ficando com
Neste espaço devemos nos atentar para os limites de integração de cada coordenada.
Outro ponto que devemos lembrar que pela transformação, nossa integral se transforma da seguinte forma:
Onde é o jacobino.
Logo temos que
Passo 3
(b) Seja = e
Passo 4
(c) O momento de inércia é dado por
Visto que
Usando uma nova transformação em coordenadas esféricas, fazemos
Na qual o jacobino é dado por
Assim ficamos com
Resposta
(a)
(b)
(c)