Calcule

∮_c f dS

1.d

f(x, y, z) = e^(raiz(z))

E C é definida por

σ(t) = (1,2, t^2)

0 <= t <= 1

Passo 1

Oiii, existe um pequeno erro conceitual nessa questão. Usamos ds para designar uma seção de área, já dr usamos para uma seção de segmento de reta. Beleza? Queremos então calcular

∮ c f   d r

Um jeito de calcular isso é parametrizar nossa superfície r

r = σ t

d r = d σ t → σ ' t d t

Como estamos com um campo escalar, não podemos simplesmente plotar o vetor σ ' t d t na integral. Temos que transforma-lo em um escalar

v e t o r → e s c a l a r  

σ ' t d t → σ ' t d t

Então se parametrizarmos essa reta ficamos com

∫ t 0 t 1 f σ t ⋅ | σ ' t |   d t

Beleza!!! Vamos cair dentro \o/

Passo 2

Vamos preparar nossas funções para a integral. Vamos parametrizar nossa função

f σ t → e t 2 = e t  

Agora vamos calcular o modulo de σ ' t

σ t = 1,2 , t 2

σ ' t = 0,0 , 2 t

σ ' t = 0 2 + 0 2 + 2 t 2 → 2 t

Agora so falta descobrirmos os intervalos de integração, o que o enunciado nos ajuda bastante ao dizer

0 ≤ t ≤ 1

Beleza, já temos tudo o que precisamos. Então nossa integração parametrizada fica

∫ t 0 t 1 f σ t ⋅ | σ ' t |   d t

∫ 0 1 e t ⋅ 2 t d t

Essa integral nos resolver por integração por partes. Se você não lembra funciona assim, pegamos a regra da cadeia

f ⋅ g ' = f ' g + f g '

E integramos

∫ f ⋅ g ' d t = ∫ f ' g d t + ∫ f g ' d t

f ⋅ g =   ∫ f ' g d t + ∫ f g ' d t

Agora nós dizemos que a função que queremos integrar é

∫ f ' g d t

E pela aquela igualdade de cima terá a seguinte correlação

∫ f ' g d t = f ⋅ g - ∫ f g ' d t  

Entao

∫ 0 1 e t ⋅ 2 t d t = 2 e t t - 2 ∫ e t d t 0 1

= 2 t e t - e t t = 0 1

= 2   e - e   - 0 - e 0

= 2

Terminamos por aqui. Pode comemorar! \o/

Te vejo na próxima resolução

: )

Resposta

∮ c f   d S = 2

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