(b) Calcule a soma da série:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) .

Passo 1

Novamente vamos começar abrindo a soma:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = ((1)/(1^2)) - ((1)/(2^2)) + ((1)/(3^2)) - ((1)/(4^2)) + ... - ...

Note que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = sum_(k = 1)^(+ oo) [(1)/((2 k - 1)^2) - (1)/(( 2 k )^2)] = ((1)/(1^2) - (1)/(2^2)) + ((1)/(3^2) - (1)/(4^4)) + ...

Passo 2

Então, temos:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) - sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(( 2 k )^2)

Na alternativa A vimos que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/((2 k - 1)^2) = (3)/(4) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2)

Passo 3

Portanto:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = (3)/(4) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2) - (1)/(2^2) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(( k )^2)

Então,

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = (1)/(2) sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2)

Lembrando que:

(pi^2)/(6) = sum_(k = 1)^(+ oo) (1)/(k^2)

Resposta

Concluimos que:

sum_(k = 1)^(+ oo) (- 1)^(k + 1) ((1)/(k^2)) = (1)/(2) . (pi^2)/(6) = (pi^2)/(12)

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