Mostre que:

(d) sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5) (4 k + 9)) = (5 pi - 12)/(480)

Passo 1

Novamente podemos reescrever:

(1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5) (4 k + 9)) =

= (1)/(6) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9))]

Passo 2

Temos então:

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5) (4 k + 9)) =

(1)/(6) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9))]

Passo 3

Abrindo o somatório:

(1)/(6) sum_(k = 0)^(oo) [(1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 3)) - (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9))] =

(1)/(6) [sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5)) - sum_(k = 0)^(oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 5) (4 k + 9))] =

(1)/(6) [(pi - 2)/(16) - (1)/(40)] = (5 pi - 12)/(480)

Resposta

Concluimos então:

sum_(k = 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3) (4 k + 5) (4 k + 9)) = (5 pi - 12)/(480)

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