Calcule as somas das séries:

(b) sum_(k - 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3))

Passo 1

Novamente podemos reescrever a série da seguinte maneira:

(1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) = (1)/(2) [(1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 3)]

Passo 2

Portanto a soma das séries:

sum_(k = 0)^(oo) (1)/(2) [(1)/(4 k + 1) - (1)/(4 k + 3)] = (1)/(2) {underset(k = 0)(ubrace (1 - (1)/(3))) + underset(k = 1)(ubrace ((1)/(5) - (1)/(7))) + underset(k = 2)(ubrace ((1)/(9) - (1)/(11))) + ...}

Passo 3

No exemplo 7 do capitulo 2.1, somos apresentados à “Série de Gregory”, cuja:

a r c t g (alpha) = sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k ((alpha^(2 k + 1))/(2 k + 1))

Se tomarmos alpha = 1

a r c t g (1) = sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k ((1)/(2 k + 1)) = underset(k = 0)(ubrace 1) - underset(k = 1)(ubrace (1)/(3)) + underset(k = 2)(ubrace (1)/(5)) - underset(k = 3)(ubrace (1)/(7)) + ... - ...

Do exemplo 8:

(pi)/(4) = a r c t g ( 1 )

Resposta

Podemos concluir então que:

sum_(k - 0)^(+ oo) (1)/((4 k + 1) (4 k + 3)) = (1)/(2) sum_(k = 0)^(oo) (- 1)^k ((1)/(2 k + 1)) = (1)/(2) . (pi)/(4) tilde= (pi)/(8)

Ver Outros Exercícios desse livro