Enunciado

67. a) Calcule os valores (aproximados) dos termos da sequência:

1,01 101 ,   1,001 1001 ,   1,0001 10001 ,   1,00001 100001 ,   1,000001 1000001 ,   1,0000001 10000001 …

De qual número esses termos aparentemente se aproximam?

b) Use a Equação ( 7 ) para confirmar sua resposta na parte a).

c) Seja 1 ≤ a ≤ 9 um inteiro positivo. Qual é o número que é aproximado mais e mais pelos termos da sequência a seguir?

1,01 a 0 a ,   1,001 a 00 a ,   1,0001 a 000 a ,   1,00001 a 0000 a ,   1,000001 a 00000 a ,   1,0000001 a 000000 a …

Passo 1

a) Então galera, o que temos que fazer aqui é encontrar uma expressão geral para a base e para o expoente dos termos que a questão nos cede. Para os valores da base temos o seguinte:

1 + 10 - n

Para os valores do expoente temos o seguinte:

1 + 10 n

Vale ressaltar que n são números naturais, tudo bem? Dessa forma, sabendo disso temos:

1 + 10 - n 1 + 10 n

Para n = 2 :

1 + 10 - 2 1 + 10 2 = 2,7319

Para n = 3 :

1 + 10 - 3 1 + 10 3 = 2,7196

Para n = 6 :

1 + 10 - 6 1 + 10 6 = 2,71828

Conseguimos notar que essa sequência está se aproximando do número de Euler, galera! Sendo assim, temos:

1 + 10 - n 1 + 10 n = e

Passo 2

b) A equação em questão é a seguinte, pessoal:

lim n → + ∞ ⁡ 1 + 1 n n = e

Para a expressão da questão anterior podemos utilizar uma substituição, que é chamar t = 1 + 10 n . Se fizermos isso, teremos:

t = 1 + 10 + ∞ = + ∞

Substituindo no nosso limite:

lim t → + ∞ ⁡ 1 + 1 t t

Que é exatamente idêntico à equação ( 7 ) , portanto fica provado que, de fato, nosso resultado está correto.

Passo 3

c) De acordo com a letra a) a sequência tende ao número de Euler, que é dado pela letra e e vale aproximadamente 2,7182 . Tendo isso em vista, temos que a sequência que nos foi dada agora tenderá para o mesmo número, mas agora dependendo de a , ou seja:

1,01 a 0 a ,   1,001 a 00 a ,   1,0001 a 000 a ,   1,00001 a 0000 a ,   ,   1,0000001 a 000000 a … = e a

E está aí nossa resposta!

Resposta

a) 1 + 10 - n 1 + 10 n = e

b) Demonstração no passo 2.

c)   1,01 a 0 a ,   1,001 a 00 a ,   1,0001 a 000 a ,   1,00001 a 0000 a ,   ,   1,0000001 a 000000 a … = e a

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Calcule o limite, se existir. lim x → 4 ⁡ x 2 - 4 x x 2 - 3 x - 4
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.61. lim x → + ∞ ⁡ 1 - 1 x - x [Sugestão: t = - x ].
55-62. Encontre os limites usando uma substituição apropriadas.62. lim x → + ∞ ⁡ 1 + 2 x x [Sugestão: t = x 2 ].
Seja f x = 1 + 1 x x .a) Prove a identidade: f - x = x x - 1 . f ( x - 1 ) b) Use a Equação ( 7 ) e a identidade da parte a) para provar a Equação ( 8 ) .