Enunciado

Calcule o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo x, do conjunto de todos os pares (x,y), tais que :

2 x 2 + y 2 ≤ 1 e y ≥ 0

Passo 1

A integração será um problema pequeno comparado a visualização, então preste bastante atenção nos gráficos, eles serão nossa bússola em problemas de volume de figuras rotacionadas.

Sem mais enrolação, vamos começar pelo que nos dará a direção, da uma olhadinha nesses gráficos que estão aqui em baixo:

Inicialmente iremos fazer um esboço dos gráficos das figuras da questão:

2 x 2 + y 2 ≤ 1

Atenção: É o interior de uma elipse de centro ( 0,0 ) e eixo maior em (0,1) e eixo menor ( 2 2 ,0) em x.

y ≥ 0

É apenas a região positiva de y, porém manteremos o costume de sempre fazer os gráficos, lembre-se nessas questões os gráficos são nossa bússola:

E agora a interseção entre esses dois gráficos, que estará representado de Verde!

Passo 2

Algo muito importante a ser percebido é que essa figura é simétrica em relação ao eixo y , dá uma olhada, e como isso facilitaria nosso trabalho, meu caro amigo?

Ora, não iremos integrar entre os dois limites que seriam: x = - 2 2 e x = 2 2 , mas sim entre os limites: x = 0 e x = 2 2 e depois multiplicaremos por 2.

Vamos concordar integrar com limite de integração 0 é muito melhor né???

Antes de ir pro próximo passo, a fórmula do volume:

V   =   π ∫ f ( x ) 2 d x  

Passo 3

Outra coisa importante em elipses e depois veremos que em circunferências também ocorrem é que queremos y 2 ou f ( x ) 2 para botar na nossa fórmula do volume e a elipse assim como a circunferência, já nos dá isso. Como?????

Assim, ó:

2 x 2 + y 2 = 1

y 2 = 1 - 2 x 2

Substituindo na nossa fórmula e lembrando que nosso intervalo de integração será de 0   a 2 2 ,temos isso aqui:

V = π ∫ 0 2 / 2 1 - 2 x 2 d x

Quebrando a nossa integral em duas:

V = π ( ∫ 0 2 / 2 d x   - 2 ∫ 0 2 / 2 x 2 d x ) =   π ( 2 2 - 2 3 2 2 8 ) = π 2 3

Lembra da simetria? Caso não lembre da uma passadinha no passo 2.

E você que lembra, temos que fazer o que?

Simplesmente multiplicar por 2 :

V = 2 π 2 3

Resposta

V = 2 π 2 3

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