Lista de Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis

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Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta y = 9 , da região

A = { ( x , y ) ∈ R 2   : y ≥ x 2 , y ≤ x - 3 2 , y ≤ x + 3 2 }

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Na figura abaixo, seja A o ponto de interseção da curva y = e x 2 e a reta L , e seja B o vértice da parábola 4 y = x - 2 2 . Suponha que a reta L passa pelos pontos A e B .

Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada S em torno do eixo- y .

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Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo- x , da região limitada pelo gráfico de f x = x 2 e g x = 2 - x 2 no intervalo x   ∈ [ - 1,1 ] .

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Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x , pelo método que achar mais conveniente.

R : y = x 4 + 1 s e - 4 ≤ x < 0 y = 1 - x 2 s e 0 ≤ x < 1 y = 0 s e 1 ≤ x ≤ 4

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Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de

y = x 2 ,       y = x  

Em torno de x = 2 .

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Seja R a região limitada pela curva y = x 3 e pelas retas y = 8 e x = 0 . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de R em torno, do eixo x = - 1

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Calcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de

y = e x ,       y = 0 ,       x = 0 ,       x = 1

Em torno do eixo x .

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo O x do conjunto:

R = x , y ∈ R 2 0 ≤ x ≤ 2 ,   0 ≤ y ≤ 1 1 + x 2

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Seja R = x , y   ϵ   R 2 : 1 ≤ x ≤ e ,   1 ≤ y ≤ 2 + ln ⁡ x . Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y = 3 .

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Considera a região

R = x , y ∈   R 2 : 0 ≤ x ≤ 3 2 , - 1 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 1 - x 2

a ) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta y = 2 .

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Considera a região

R = x , y ∈   R 2 : 0 ≤ x ≤ 3 2 , - 1 1 - x 2 ≤ y ≤ 1 1 - x 2

b ) Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo 0 y .

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = x 2 + 4 x - 2 , y = x - 2

a) Esboce a região R

b) Determine a área da região R

c) Seja S o sólido obtido pela rotação da região R ao redor da reta y = - 1 . Expresse o volume S por uma ou mais integrais.

d) Calcule o volume de S

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Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo- x , da região limitada pelo gráfico de f x = x 2 e g x = 2 - x 2 no intervalo x   ∈ [ - 1,1 ] .

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Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

b) Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta y = - 1

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Seja R a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola y = 4 - x 2 , para x entre 0 e 2 .

c) Calcule o volume do sólido obtido girando a região R acima em torno da reta x = 3

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Considere a função f : 1 , ∞ → I R onde f x = 1 x 4 . Seja S o sólido obtido pela rotação do gráfico de f em torno do eixo x . O volume de S é:

  1. π 9
  2. π 4
  3. π 7
  4. π 6

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Seja R a região que está entre as curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x no intervalo 0 , π 4 . Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos R em torno da reta y = - 1 .

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Um objeto é esculpido a partir de um tronco cilíndrico de madeira maciça com diâmetro de 2 L metros e comprimento de 4 metros. O objeto tem a forma do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo x , da região limitada pela curva y = L 2 x 2 + x , x   ϵ   [ 1,5 ] , e pelo eixo x . Calcule o volume de madeira desperdiçado.

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Seja G a região ilimitada no plano x y definida por:

G = x , y ∈ R × R 0 ≤ x ≤ 1 1 + y 2 3 2 ,     y ≥ 0

Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando G em torno do eixo-x.

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Considere a região R do plano x y delimitada pela curva de equação y = x 3 - x 4 e pela reta y = 0 (eixo x ).

  1. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta y = 0 (eixo x );
  2. Escreva uma integral que corresponda ao volume do sólido gerado pela rotação de R em torno da reta x = 2 . Não precisa calcular a integral.

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Considere a região R limitada pelas curvas

y = 1 x + 2 x + 1         ,       y = 1 2         e       x = 1

Determine o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

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Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do semicírculo:

R = x , y   ϵ   R 2   x 2 + y 2 ≤ 1 ,     y ≥ 0 }

Em torno da reta y = - 3 .

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Considere a região plana R definida por:

R = x , y   ∈ I R 2 x - 1 2 ≤ y ≤ 1 - x 2  

Seja S o sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

  1. Esboce a região plana R
  2. Utilizando o método que preferir, escreva o volume de S como uma integral
  3. Calcule o volume de S

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Considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo E dado:

R :                     y = x 2 - 2 x ,   y = 4 - x ² E :                                                                       r e t a   y = 4

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Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

12 .   R : y = x 2 ,   y = x ;

            E : e i x o   x

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Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

13 .   R : x y = 4 ,   x + y = 5 ;

            E : y = 1

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Em cada um dos exercícios 11 a 14 considere a região R limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da R em torno do eixo E dado.

13 .   R : y = ln ⁡ x ,   y = x - 1 e - 1 ;

            E : e i x o   x

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região R em torno do eixo x , pelo método que achar mais conveniente.

R : y = x 4 + 1 s e - 4 ≤ x < 0 y = 1 - x 2 s e 0 ≤ x < 1 y = 0 s e 1 ≤ x ≤ 4

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Seja R a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas y = x 3 e y = x , consideradas para valores x ≥ 0 .

a) Esboce a região R , indicando os pontos de interseção das curvas

b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região R em torno da reta y = 1

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Considere a região R delimitada pelas retas 3 y - 2 x + 1 = 0 , y = x , y = 1 e y = 3 .

  1. Esboce a região R .
  2. Escreva uma integral, ou uma soma de integras, que represente(m) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região R ao redor da reta y = 4 .
  3. Calcule o volume.

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Sejam f e g funções dadas por

f x = - x + 2   e   g x = a r c s e n x

𝑒 considere a região plana R descrita abaixo:

R : x , y ∈ R g x ≤ y ≤ f x ,   0 < - x ≤ 1 2 .

Seja S o sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x .

a) Esboce a região plana R .

b) Escreva o volume de S utilizando o Método de Discos ou método de cascas ciníndricas.

Obs: Neste item não é necessário calcular o volume.

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = e - x ,   y = 1 , x = 2 .

  1. Esboce a região R .
  2. Escreva as integrais que determinam o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta y = 2 pelo método das cascas cilíndricas e pelo método dos discos.
  3. Calcule o volume pedido.

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Seja R a região do plano limitada superiormente pelo gráfico de y = 2 e - x - 1 e inferiormente pelo eixo O x → , com 0 ≤ x ≤ ln ⁡ 2 .

Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região R em torno do eixo O x → .

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Considere as regiões R 1 e R 2 definidas a seguir.

R 1 é a região do primeiro quadrante ( x ≥ 0 ,   y ≥ 0 ) limitada pela curva x = y 2 , pelo eixo O X e pela reta y = x - 2 .

R 2 é a região limitada pela curva x = y 2 , pelo eixo O Y e pela reta y = 2 .

Sem calcular as integrais, faça o que se pede a continuação.

  1. Faça o esboço de R 1 e de R 2 .
  2. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse a área da região R 1 .
  3. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de R 1 em torno do eixo O X .
  4. Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de R 2 em torno da reta y = 2 .

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A região destacada na figura abaixo é delimitada pelas funções f e g .

Sabemos que

∫ a b g 2 x d x = 25 ∫ a b f x g x d x = 13 ∫ a b f x - g x 2 d x = 10

O volume do sólido de revolução obtido girando Ω em torno do eixo x é:

  1. 14 π .
  2. 10 π .
  3. 6 π .
  4. 8 π .

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Considere a região plana R = x , y ∈ R 2   0 ≤ x ≤ 1 , arctan ⁡ x ≤ y ≤ π + x 2 } .

a) Esboce a região plana R .

b) Assinale uma das opções abaixo e escreva o volume de S utilizando integrais.

[ ] Método de Discos: o volume será escrito através de uma soma de 3 integrais.

[ ] Método de Cascas Cilíndricas: o volume será escrito através de uma única integral.

c) Calcule o volume de S .

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = e x e y = e - x e as retas x = 0 e x = 1 2 . O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O x é:

  1. π e 6 2 + e - 6 2 - 1
  2. π e 2 2 + e - 2 2 - 1
  3. π e 5 2 + e - 5 2 - 1
  4. π   e 2 + e - 1 2 - 1
  5. π e 7 2 + e - 7 2 - 1

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = e x e y = e - x e as retas x = 0 e x = 1 . O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O x é:

  1. π e 6 2 + e - 6 2 - 1
  2. π e 2 2 + e - 2 2 - 1
  3. π e 5 2 + e - 5 2 - 1
  4. π   e 2 + e - 1 2 - 1
  5. π e 7 2 + e - 7 2 - 1

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Considere a região R limitada pelas curvas y = x e y = x 2 no intervalo 1,2 .

  1. Esboce a região R .
  2. Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

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Considere a região R limitada pela reta y = x e pela curva y = x 2 no intervalo 0,1 . Esboce a região R e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de R em torno do eixo x .

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = cos 2 ⁡ x + 2 cos ⁡ x + 17 - x 4

g x = 1 + cos ⁡ x

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = sin 2 ⁡ 2 x - 2 sin ⁡ 2 x + 17 - x 4

g x = 1 - sin ⁡ 2 x

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Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo x , da região delimitada pelos gráficos das funções:

f x = e 2 x + 2 e x + 17 - x 4

g x = e x + 1

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = e x e y = e - x e as retas x = 0 e x = 5 2 . O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O x é:

  1. π e 6 2 + e - 6 2 - 1
  2. π e 2 2 + e - 2 2 - 1
  3. π e 5 2 + e - 5 2 - 1
  4. π   e 2 + e - 1 2 - 1
  5. π e 7 2 + e - 7 2 - 1

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Seja R a região delimitada pelas curvas y = e x e y = e - x e as retas x = 0 e x = 3 . O volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo O x é:

  1. π e 6 2 + e - 6 2 - 1
  2. π e 2 2 + e - 2 2 - 1
  3. π e 5 2 + e - 5 2 - 1
  4. π   e 2 + e - 1 2 - 1
  5. π e 7 2 + e - 7 2 - 1

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Seja R a região limitada pelas curvas f x = 2 - x 2 e g x = 1 .

  1. Esboce a região R .
  2. Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando R é girado ao redor da reta y = 1 .

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Faça um esboço da região R do plano x y limitada pelas curvas y = sen ⁡ x e y = cos ⁡ x e pelas retas x = 0 e x = π 2 . Expresse as grandezas abaixo utilizando integrais. Não é preciso calcular as integrais.

  1. A área de R ;
  2. O volume do sólido de revolução obtido pela rotação de R em torno do eixo x .

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(a) Seja

B = x , y ∈ R 2 : 2 x 2 + y 2 ≤ 1     e     y ≥ x .