Lista de Exercícios Resolvidos de Cálculo de Volumes – Discos e Anéis
Seja a região limitada pela curva e pelas retas e . Determine o volume do sólido de revolução gerado pela rotação de em torno, do eixo
Ver solução completaDetermine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno da reta , da região
Ver solução completaNa figura abaixo, seja o ponto de interseção da curva e a reta , e seja o vértice da parábola . Suponha que a reta passa pelos pontos e .
Calcule o volume gerado pela rotação da região sombreada em torno do eixo-.
Determine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo-, da região limitada pelo gráfico de e no intervalo .
Ver solução completaSeja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .
Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta
Ver solução completaCalcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo , pelo método que achar mais conveniente.
Ver solução completaCalcule o volume do sólido de revolução obtido a partir da rotação de
Em torno do eixo .
Ver solução completaSeja Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
Ver solução completaConsidera a região
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno da reta .
Ver solução completaCalcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo do conjunto:
Ver solução completaConsidera a região
Determine o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo .
Ver solução completaSeja a região delimitada pelas curvas ,
a) Esboce a região
b) Determine a área da região
c) Seja o sólido obtido pela rotação da região ao redor da reta . Expresse o volume por uma ou mais integrais.
d) Calcule o volume de
Ver solução completaDetermine o volume do sólido obtido pela revolução em torno do eixo-, da região limitada pelo gráfico de e no intervalo .
Ver solução completaConsidere a função onde . Seja o sólido obtido pela rotação do gráfico de em torno do eixo . O volume de é:
Seja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .
b) Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta
Ver solução completaSeja a região limitada pelos eixos e pelo arco de parábola , para entre e .
c) Calcule o volume do sólido obtido girando a região acima em torno da reta
Ver solução completaSeja a região que está entre as curvas e no intervalo . Determine o volume do sólido obtido ao rotacionarmos em torno da reta .
Ver solução completaUm objeto é esculpido a partir de um tronco cilíndrico de madeira maciça com diâmetro de metros e comprimento de metros. O objeto tem a forma do sólido de revolução obtido pela rotação, em torno do eixo , da região limitada pela curva , , e pelo eixo . Calcule o volume de madeira desperdiçado.
Ver solução completaSeja a região ilimitada no plano definida por:
Calcule o volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo-x.
Ver solução completaConsidere a região do plano delimitada pela curva de equação e pela reta (eixo ).
- Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno da reta (eixo );
- Escreva uma integral que corresponda ao volume do sólido gerado pela rotação de em torno da reta . Não precisa calcular a integral.
Calcule o volume do sólido de revolução obtido pela rotação do semicírculo:
Em torno da reta .
Ver solução completaConsidere a região limitada pelas curvas
Determine o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo .
Ver solução completaConsidere a região plana definida por:
Seja o sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo .
- Esboce a região plana
- Utilizando o método que preferir, escreva o volume de como uma integral
- Calcule o volume de
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo , pelo método que achar mais conveniente.
Ver solução completaEm cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.
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Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.
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Em cada um dos exercícios a considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Calcule, por dois métodos distintos, o volume do sólido obtido pela rotação da em torno do eixo dado.
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Considere a região limitada pelas curvas de equações dadas. Aplicando o método dos discos circulares, calcule o volume do sólido obtido pela rotação da região em torno do eixo dado:
Ver solução completaSeja a região limitada do plano, que é delimitada pelos gráficos das curvas e , consideradas para valores .
a) Esboce a região , indicando os pontos de interseção das curvas
b) Calcule o volume do sólido obtido ao girar a região em torno da reta
Ver solução completaConsidere a região delimitada pelas retas , , e .
- Esboce a região .
- Escreva uma integral, ou uma soma de integras, que represente(m) o volume do sólido de revolução obtido pela rotação da região ao redor da reta .
- Calcule o volume.
Sejam e funções dadas por
𝑒 considere a região plana descrita abaixo:
Seja o sólido gerado pela rotação da região em torno do eixo
a) Esboce a região plana
b) Escreva o volume de utilizando o Método de Discos ou método de cascas ciníndricas.
Obs: Neste item não é necessário calcular o volume.
Ver solução completaSeja a região delimitada pelas curvas .
- Esboce a região .
- Escreva as integrais que determinam o volume do sólido obtido pela rotação da região acima ao redor da reta pelo método das cascas cilíndricas e pelo método dos discos.
- Calcule o volume pedido.
Seja a região do plano limitada superiormente pelo gráfico de e inferiormente pelo eixo , com .
Determine o volume do sólido obtido pela revolução da região em torno do eixo .
Ver solução completaConsidere as regiões e definidas a seguir.
é a região do primeiro quadrante limitada pela curva , pelo eixo e pela reta .
é a região limitada pela curva , pelo eixo e pela reta .
Sem calcular as integrais, faça o que se pede a continuação.
- Faça o esboço de e de .
- Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse a área da região .
- Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo .
- Escreva uma integral, ou uma soma de integrais, que expresse o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
Considere a região plana
a) Esboce a região plana .
b) Assinale uma das opções abaixo e escreva o volume de utilizando integrais.
[ ] Método de Discos: o volume será escrito através de uma soma de 3 integrais.
[ ] Método de Cascas Cilíndricas: o volume será escrito através de uma única integral.
c) Calcule o volume de .
Ver solução completaA região destacada na figura abaixo é delimitada pelas funções e .
Sabemos que
O volume do sólido de revolução obtido girando em torno do eixo é:
- .
- .
- .
- .
Seja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:
Seja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:
Considere a região limitada pela reta e pela curva no intervalo . Esboce a região e calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo .
Ver solução completaConsidere a região limitada pelas curvas e no intervalo .
- Esboce a região
- Calcule o volume do sólido gerado pela rotação de em torno do eixo .
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:
Ver solução completaCalcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:
Ver solução completaCalcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo , da região delimitada pelos gráficos das funções:
Ver solução completaSeja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:
Seja a região delimitada pelas curvas e e as retas e . O volume do sólido obtido pela rotação de em torno do eixo é:
Seja a região limitada pelas curvas e .
- Esboce a região .
- Encontre o volume do sólido de revolução gerado quando é girado ao redor da reta .
Faça um esboço da região do plano limitada pelas curvas e e pelas retas e . Expresse as grandezas abaixo utilizando integrais. Não é preciso calcular as integrais.
- A área de ;
- O volume do sólido de revolução obtido pela rotação de em torno do eixo .
(a) Seja
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação de em torno da reta .
(b) Calcule a área da região formada pelos pontos tais que está entre
Ver solução completaSeja uma função contínua. Sabendo-se que o volume do sólido obtido girando o gráfico de em torno do eixo entre e é para todo , encontre a expressão de quando .
Ver solução completaCalcule o volume do sólido obtido pela rotação em torno do eixo da região delimitada pela curva e a reta .
Determine o volume do sólido obtido pela rotação, em torno do eixo , da região