Calcule

s) lim x → 0 + ⁡ x tg ⁡ x 2

Passo 1

O limite da forma que está escrito está com a indeterminação 0 0 . A gente já aprendeu como foge dessas, né? Vamos fazer assim, ó: um número a b pode ser reescrito dessa forma:

a b = e l n a b = e b l n a

E aí podemos reescrever o limite assim:

lim x → 0 + ⁡ x tg ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ e ln ⁡ x tg ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ e tg ⁡ x 2 ln ⁡ x = e lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ x

Passo 2

Agora, veja que:

lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ x = lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x cotg ⁡ x 2 → - ∞ + ∞

Como temos esse tipo de indeterminação, podemos aplicar a Regra de L’Hospital, derivando numerador e denominador, lembrando que cotg ⁡ x ' = - cossec 2 ⁡ x :

lim x → 0 + ⁡ ln ⁡ x cotg ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ 1 x - 2 x cossec 2 ⁡ x 2 = lim x → 0 + ⁡ - sen 2 ⁡ x 2 2 x 2

Passo 3

Para terminar a resolução do limite, vamos lembrar do limite fundamental, onde:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x x = 1

E com uma mudança de variável, concluímos que:

lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 = 1

Assim, o limite será:

lim x → 0 + ⁡ - sen 2 ⁡ x 2 2 x 2 = lim x → 0 + ⁡ sen ⁡ x 2 x 2 lim x → 0 + ⁡ - sen ⁡ x 2 2 = 1 ∙ 0 = 0

Logo,

lim x → 0 + ⁡ x tg ⁡ x 2 = e lim x → 0 + ⁡ tg ⁡ x 2 ln ⁡ x = e 0 = 1

Resposta

lim x → 0 + ⁡ x tg ⁡ x 2 = 1

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