Enunciado

Caminho de uma partícula atraída pelo calor Uma partícula atraída pelo calor tem a propriedade de, em qualquer ponto (x, y) no plano, mover-se na direção de máximo aumento da temperatura. Se a temperatura em (x, y) é T(x, y) =

–e–2y cos x, encontre uma equação y = ƒ(x) para o caminho de

uma partícula atraída pelo calor no ponto (p/4, 0).

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Uma determinada partícula possui a propriedade de em qualquer ponto ( x , y ) no plano ela se move na direção da temperatura máxima. Se a temperatura em ( x , y ) é T ( x , y ) = - e - 2 y c o s ⁡ x , vamos encontrar uma equação y = f ( x ) para o caminho dessa partícula no ponto π 4 , 0 .Podemos começar? Então, vamos lá!

Passo 2

Como a partícula se move à procura de calor, a cada ponto ( x , y ) ela se move na direção de aumento da máxima temperatura, ou seja, ela se move na direção de:

∇ T ( x , y ) = e 2 y s e n ⁡ x i + 2 e 2 y c o s ⁡ x j

Como ∇ T ( x , y ) é paralelo ao vetor velocidade da partícula, então é tangente ao caminho y = f ( x ) da partícula.Derivando a função temos:

f ' ( x ) = 2 e - 2 y c o s ⁡ x e - 2 y s e n ⁡ x = 2 c o t ⁡ x

A integração da função leva à:

f ( x ) = 2 l n ⁡ | s e n ⁡ x | + C

Para π 4 , 0 temos:

f π 4 = 0 0 = 2 l n ⁡ s e n ⁡ π 4 + C C = - 2 l n ⁡ 2 2 C = l n ⁡ 2 2 2 C = l n ⁡ 2

Assim, o caminho da partícula é o gráfico de y = 2 l n ⁡ | s e n ⁡ x | + l n ⁡ 2

Resposta

Resposta nos passos.

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Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 . Se F → for conservativo então existirá uma função escalar U x , y definida em A tal que
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Um campo de forças F → x , y = P x , y i → + Q x , y j → , onde P , Q são funções definidas num aberto A ⊂R 2 denomina-se conservativo se existe um campo escalar φ: A → R tal que ∇ φ x , y =F → x , y
Seja y = g ( x ) definida e derivável no intervalo aberto I , dada implicitamente pela equação f x , y = 0 , onde f x , y é suposta diferenciável no aberto A ⊂ R 2 . ∂ f ∂ x ⋅ ∂ f ∂ y0 em A. Com argum