Exercícios de Vetor Gradiente - Lista de Exercícios Resolvida

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

Sejam

Calcule:

Considere as superfícies

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.

Considere a superfície de equação . Se o vetor é tangente a em , então:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

6. Seja . Desenhe um campo satisfazendo .

Sejam uma função diferenciável e , uma curva cuja imagem está contida no gráfico f. Seja r a reta tangente à curva de nível 4 de f no ponto . Sabendo que a reta r contém o ponto determine o vetor gradiente de f no ponto e a equação de plano tangente ao gráfico de f no ponto

5) A temperatura, em Kelvin, de certo ambiente é modelada pela função .

(I) Considerando direções unitárias, qual é a maior taxa de resfriamento, ou seja, a taxa de variação mais negativa da temperatura no ponto ?

(II) Uma andorinha move-se na trajetória , onde denota tempo. Qual é a taxa de variação de temperatura sentida pela andorinha quando ela passa pelo ponto ? Dica: Utilize a tangente de no ponto .

(III) O valor encontrado no item (II) é menor (mais negativo) que o encontrado no item (I). Porque isso não contradiz o da taxa de variação no item (I) ser a de maior resfriamento?

Obtenha a equação do plano tangente à superfície no ponto

A temperatura numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto. Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.

Seja , onde e são constantes reais. Que condições devem satisfazer as constantes e para que seja um ponto de mínimo relativo de ? Justifique.

3 – Considere a função .

d) A função é harmônica? Isto é, ?

3 – Considere a função .

b) Calcule e desenhe os vetores gradientes nos pontos e . Use o mesmo desenho do item anterior.

A curva de nível da função diferenciável é parametrizada por . A curva , tem sua imagem contida no gráfico de .

a) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

b) Determine o vetor tangente à curva no ponto .

c) Calcule

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

c) Qual a taxa máxima de variação em P (−1, −1, 1)?

Diga se cada afirmativa abaixo é verdadeira ou falsa, justificando sua resposta:

1. Se duas funções e são tais que é contínua em um determinado valor e é descontínua em , então a composta será descontínua em .

Determine a curva de nível de

Que seja tangente à curva descrita por

Qual o ponto de tangencia?

Dado a função , o gradiente para todo é:

Considere a função . Calcular o gradiente da função

(a) +

(b) +

(c) +

(d) +

(e) +

Seja a superfície de equação , onde e são constantes. Para que a reta , , seja tangente a no ponto , o valor de deve ser:

3. Nenhuma das demais alternativas

Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) .

b) .

c) .

d) .

e) .

Seja (ou seja, é positiva) tal que

Onde é um aberto contendo

Calcule e , escrevendo todos os seus cálculos corretamente.

Considere a função dada por . Considere a curva de nível de que passa pelo ponto : esta curva tem equação (onde ).

(a) Encontre o valor de .

(b) Escreva uma parametrização para a curva de nível indicando o domínio de .

(c) Escreva um vetor não nulo tangente ao traço de no ponto e um vetor não nulo normal ao traço de no ponto .

Considere as superfícies

1. Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.

A temperatura em um ponto é dada por onde é medido em Celsius e em metros. Direção e sentido de mais crescimento no ponto é:

3 – Considere a função .

c) Determine os pontos onde o gradiente de se anula.

A frase: Se é uma função tal que em um ponto e é um vetor unitário, então é .....

A temperatura em um ponto é dada por , onde é medida em graus Celsius e em metros. A direção e sentido de maior aumento da temperatura a partir do ponto é dada pelo vetor unitário e a taxa de variação máxima da temperatura neste ponto é ..... graus Celsius por metro.

Questão 4 – Considere a função , onde é uma função diferenciável.

(b) Se , calcule aproximadamente .

Questão 4 – Considere a função , onde é uma função diferenciável.

(a) Sabendo que , calcule .

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .

1. Em que direção varia mais rapidamente em ?

A altura do pico do Jabre (município de Matureia – PB) é, de maneira aproximada, dada por

onde mede a altura em relação ao nível do mar e mede as distâncias leste-oeste e norte-sul em relação ao local do pico (medidas em quilômetro). Considerando que você esteja localizado no ponto , determine:

a) A direção de maior declividade para se descer o pico.

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico seja dado por .

1. Qual a taxa de variação máxima em ?

Seja a função abaixo definida

1. Determine o conjunto dos pontos de continuidade de .
2. Determine a função gradiente de .
3. Determine o conjunto dos pontos onde é diferenciável.

Suponha que em uma certa região do espaço o potencial elétrico V seja dado por

a) Determine a taxa de variação do potencial em P (−1, −1, 1) na direção do vetor

v = 2î − ĵ + 2k .

Suponha que representa o valor da temperatura em sobre os pontos do plano .

1. Se é um ponto da curva qual o ângulo entre o vetor tangente a em e o vetor gradiente ?

Seja a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto determine:

b) a direção e sentido a partir do ponto P em que a temperatura aumenta mais rapidamente e a taxa de crescimento da temperatura nessa direção

Seja a temperatura numa chapa de aço plana. Dado o ponto determine:

c) a taxa de variação da temperatura a partir do ponto na direção de um vetor unitário que faz um ângulo de com o gradiente da temperatura no ponto.

Sem usar o método dos multiplicadores de Lagrange determine os pontos do cone

que estão mais próximos do ponto

Considere a curva com