1.

Determine o vetor gradiente das superfícies abaixo

  1. S 1 = x , y , z ∈ R 3 x y z + x 3 + y 3 + z 3 = 3 z
  2. S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 2 4 + y 2 9 - z 2 = x
Resolução
2.

Determine o vetor gradiente das seguintes funções

  1. f x , y =   x 2 + 3 x y
  2. f x , y , z = 2 x + 4 x y + x z
Resolução
3.

Sejam

f x , y , z = x 2 2 + x - 3 y z + 4 z

∇ f = x + 1 , - 3 z , 4 - 3 y

g x , y , z = 2 x + 4 x y + 3 y + z

∇ g = ( 2 + 4 y , 4 x + 3,1 )

k = 2

Calcule:

  1. ∇ k f
  2. ∇ f + g
  3. ∇ f - g
  4. ∇ f g
Resolução
4.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.

Resolução
5.

Considere a superfície S de equação x + 2 = x y 2 + z x . Se o vetor v = ( a , b , c ) é tangente a S em ( 1,1 , 2 ) , então:

(a) 2 a + 2 b + c = 0

(b) 2 a + 2 b + c = 1

(c) 2 a + 2 b - c = 0

(d) 3 a + 2 b + c = 2

(e) a + 3 b + 2 c = 0

Resolução
6.

Considere T x , y , z = 20 - x 2 - y 2 - z 2 uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula A localziada em A ( 2,3 , 5 ) precisa esquentar rapidamente. Outra partícula B ( 0 , - 1,0 ) precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em B .

Resolução
8.
  1. Afigura mostra uma porção de um mapa da região Sul de Minas Gerais onde estão indicadas as curvas de nível da função altura h com relação ao nível do mar. Existe uma linha grossa para cada 100   m de elevação e uma linha fina em cada intervalo de 20   m . Considere os pontos A ,   B ,   C , D e E no mapa. As setas indicam o vetor gradiente de h no ponto indicado. Diga se as relações abaixo são verdadeiras ou não, marcando um “V” se a relação for verdadeira ou um “F” se a relação for falsa.

( ) h C > h E

( ) h A > h C

( ) ∂ h A ∂ x > 0

( ) ∂ h A ∂ y > 0

( ) ∂ h B ∂ x < 0

( ) ∂ h B ∂ y < 0

( ) ∂ h D ∂ x > 0

( ) ∂ h E ∂ x < 0

( ) ∂ h A ∂ x > ∂ h E ∂ x  

( ) ∂ h B ∂ x > ∂ h D ∂ x

Resolução
9.

7. As curvas definidas a seguir se interceptam no ponto 2 π , π , formando um ângulo de π 2 rad.

γ 1 = { x , y ∈   R 2 ; x y - cos ⁡ x - 2 y = 2 π 2 - 1 } e γ 2 = { x , y ∈ R 2 ; y = f x }

a) Encontre um valor possível para f ' 2 π . Quantas soluções tem esse problema?

b) Resolva o mesmo problema supondo que o ângulo é π 6 rad.

Sugestão: Nos dois casos encontre um vetor u → perpendicular a curva γ 1 em 2 π , π , um vetor v → tangente a curva γ 2 em 2 π , π e use a fórmula do ângulo θ entre esses vetores, cos ⁡ θ = u → . v → u → v →  

Resolução
10.

A temperatura T   numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto x , y , z é diretamente proporcional à altura z do ponto. Determine a expressão de T em x , y , z , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.

Resolução
11.

Determine a curva de nível de

f x , y = 9 x 2 + y 2

Que seja tangente à curva descrita por

x y = 1

x > 0

y > 0

Qual o ponto de tangencia?

Resolução
12.

Considere a função F x , y , z = x 3 y z . Calcular a gradiente da função F ( x , y , z ) .

  1. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k
  2. ∇ F = x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k
  3. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 y z 2 j - x 3 y z 2 k
  4. ∇ F = 3 x 2 y z i + x 3 2 z y j - x 3 y z 2 k
  5. ∇ F = x 2 y 2 z i + x 3 y z 2 j + x 3 y 2 z 2 k
Resolução
13.

Dado a função f x , y , z = x 2 - 3 4 y 3 - sen ⁡ z , o gradiente para todo ( x , y , z ) é:

  1. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , cos ⁡ z
  2. ∇ f = 2 x , - 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  3. ∇ f = x 3 3 , - 3 16 y 4 , - cos ⁡ z
  4. ∇ f = - 2 x , 9 4 y 2 , - cos ⁡ z
  5. ∇ f = 2 x , - 3 4 y 2 , - cos ⁡ z
Resolução
14.

Considere a função F x , y , z = x 3 y z . Calcular o gradiente da função F ( x , y , z )

(a) 3 x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k

(b) x 2 y z i + x 3 y 2 z j + x 3 y z 2 k

(c) 3 x 2 y z i + x 3 y z 2 j - x 3 y z 2 k

(d) 3 x 2 y z i + x 3 2 y z j - x 3 y z 2 k

(e) x 2 y 2 z i + x 3 y z 2 j + x 3 y 2 z 2 k

Resolução
15.

Seja S a superfície de equação a x 2 + b x y + z 3 = 10 , onde a e b são constantes. Para que a reta r t = ( 1 + t ,   1 - t ,   2 + 2 t ) , t ∈ R , seja tangente a S no ponto P = ( 1,1 , 2 ) , o valor de b deve ser:

  1. 14
  2. 1
  3. Nenhuma das demais alternativas
  4. - 12
  5. 10
Resolução
16.

Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 0 ,   1 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

b) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

c) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

d) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Resolução
17.

Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   0 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

b) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

c) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

d) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Resolução
18.

Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   1 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

b) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

c) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

d) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Resolução
19.

Seja f :   R 2 → R uma função de classe C 1 tal que ∇ f 1 ,   1 = 1 ,   - 1 . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de f que contém 1 ,   1 , assinale a alternativa que contém tal curva.

a) γ t = t , ln ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

b) γ t = t ,   1 / t ,   t ∈   ] 0 ,   + ∞ [ .

c) γ t = sec ⁡ t , tan ⁡ t + 1 ,   t ∈   ] - π / 2 ,   π / 2 [ .

d) γ t = cos ⁡ t + 1 ,   s e n   t ,   t ∈ R .

e) γ t = t 3 ,   t ,   t ∈ R .

Resolução
20.

Considere a função f x , y = e x 2 y - 4 + y 5

(a) Calcule f x 2,1 ,   f y 2,1 e explique as suas discrepâncias geométricas.

(b) Encontre a taxa máxima de variação da função f ( x , y ) no ponto 2,1 . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.

(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de f x , y no ponto 2,1 , 2 .

(d) Encontre a linearização de f x , y em 2,1 , use-a para calcular aproximadamente f 2.01,0.9 e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar f .

Resolução
21.

Seja g : U → 0 + ∞ (ou seja, g é positiva) tal que

e x 2 + e y 2 + e g x , y 2 = 4 ,   ∀ x , y ∈ U

Onde U é um aberto contendo 0,0

Calcule g 0,0 e ∇ g 0,0 , escrevendo todos os seus cálculos corretamente.

Resolução
22.

Considere a função f   : R 2 → R dada por f x , y = 1 + 3 x 2 + y 2 . Considere a curva de nível k de f que passa pelo ponto P = ( 1,1 ) : esta curva tem equação f x , y = k (onde k ∈ R ).

(a) Encontre o valor de k .

(b) Escreva uma parametrização α ( t ) para a curva de nível f x , y = k indicando o domínio de α .

(c) Escreva um vetor não nulo tangente ao traço de α no ponto P e um vetor não nulo normal ao traço de α no ponto P .

Resolução
23.

Considere as superfícies

S 1 = x , y , z ∈ R 3 4 y - 2 2 + 3 z - 1 2 = 4

S 2 = x , y , z ∈ R 3 x 3 y 2 + x 3 - 3 y z - z 4 = 3

  1. Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos N 1 x , y , z e N 2 x , y , z às superfícies S 1 e S 2 , respectivamente.
Resolução
24.

A curva de nível 1 da função diferenciável f : R 2 → R é parametrizada por γ t = t , 2 t 2 ,   t ∈ R