Lista de Exercícios Resolvidos de Vetor Gradiente
Considere as superfícies
Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.
Ver solução completaConsidere a superfície de equação . Se o vetor é tangente a em , então:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Ver solução completaConsidere uma distribuição de temperatura em uma região do espaço. Uma partícula localziada em precisa esquentar rapidamente. Outra partícula precisa resfriar-se o mais rápido possível. Qual é a taxa máxima de descrescimento da temperatura em .
Ver solução completa- Afigura mostra uma porção de um mapa da região Sul de Minas Gerais onde estão indicadas as curvas de nível da função altura com relação ao nível do mar. Existe uma linha grossa para cada de elevação e uma linha fina em cada intervalo de . Considere os pontos e no mapa. As setas indicam o vetor gradiente de no ponto indicado. Diga se as relações abaixo são verdadeiras ou não, marcando um “V” se a relação for verdadeira ou um “F” se a relação for falsa.
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Ver solução completaA temperatura numa câmara cresce com a altura. As isotermas são lâminas horizontais e o módulo do vetor gradiente em cada ponto é diretamente proporcional à altura do ponto. Determine a expressão de em , sabendo-se que é nula quando a altura é zero.
Ver solução completa7. As curvas definidas a seguir se interceptam no ponto , formando um ângulo de rad.
e
a) Encontre um valor possível para . Quantas soluções tem esse problema?
b) Resolva o mesmo problema supondo que o ângulo é rad.
Sugestão: Nos dois casos encontre um vetor perpendicular a curva em , um vetor tangente a curva em e use a fórmula do ângulo entre esses vetores,
Ver solução completaDetermine a curva de nível de
Que seja tangente à curva descrita por
Qual o ponto de tangencia?
Ver solução completaConsidere a função . Calcular o gradiente da função
(a) +
(b) +
(c) +
(d) +
(e) +
Ver solução completaSeja a superfície de equação , onde e são constantes. Para que a reta , , seja tangente a no ponto , o valor de deve ser:
- Nenhuma das demais alternativas
Seja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Ver solução completaSeja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Ver solução completaSeja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Ver solução completaSeja uma função de classe tal que . Sabendo que exatamente uma das curvas abaixo tem imagem contida na curva de nível de que contém , assinale a alternativa que contém tal curva.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
Ver solução completaConsidere a função
(a) Calcule e explique as suas discrepâncias geométricas.
(b) Encontre a taxa máxima de variação da função no ponto . Determine a direção em que essa taxa máxima de variação ocorre.
(c) Encontre a equação do plano tangente ao gráfico de no ponto .
(d) Encontre a linearização de em , use-a para calcular aproximadamente e explique por que é possível usar a sua linearização para aproximar .
Ver solução completaSeja (ou seja, é positiva) tal que
Onde é um aberto contendo
Calcule e , escrevendo todos os seus cálculos corretamente.
Ver solução completaConsidere a função dada por . Considere a curva de nível de que passa pelo ponto : esta curva tem equação (onde ).
(a) Encontre o valor de .
(b) Escreva uma parametrização para a curva de nível indicando o domínio de .
(c) Escreva um vetor não nulo tangente ao traço de no ponto e um vetor não nulo normal ao traço de no ponto .
Ver solução completaConsidere as superfícies
- Explicite as coordenadas de vetores normais não-nulos e às superfícies e , respectivamente.
A curva de nível da função diferenciável é parametrizada por . A curva , tem sua imagem contida no gráfico de .
a) Determine o vetor tangente à curva no ponto .
b) Determine o vetor tangente à curva no ponto .
c) Calcule
Ver solução completaSuponha que representa o valor da temperatura em sobre os pontos do plano .
- Se é um ponto da curva qual o ângulo entre o vetor tangente a em e o vetor gradiente ?