Enunciado

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = ( 2 x , - y ) . Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada C = C 1 ∪ C 2 ∪ C 3 representada na Figura 9.38.

Passo 1

Precisamos inicialmente parametrizar nossas curvas afim de aplicar na equação abaixo

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Onde teremos que

∫ C v → r → t ⋅ d r → t = ∫ C 1 v → r 1 → t ⋅ d r 1 → t + ∫ C 2 v → r 2 → t ⋅ d r 2 → t + ∫ C 3 v → r 3 → t ⋅ d r 3 → t

Passo 2

Vamos parametrizar as curvas primeiro.

Para C 1

0,0 → ( 3,0 )

r → 1 t = t , 0 ,   t ∈ [ 0,3 ]

Para C 2

3,0 → ( 3,2 )

r → 2 t = 3 , t ,   t ∈ 0,2

e finalmente para C 3

3,2 → ( 0,0 )

r → 3 t = 3 - 3 t , 2 - 2 t ,   t ∈ 0,1

Passo 3

Agora vamos resolver nossas integrais

∫ C 1 v → r → 1 t ⋅ d r → 1 = ∫ 0 3 2 t , 0 ⋅ ( d t , 0 ) = ∫ 0 3 2 t d t = t 2 0 3 = 9

∫ C 2 v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = ∫ 0 2 6 t , - t ⋅ ( 0 , d t ) = ∫ 0 2 - t d t = - t 2 2 0 2 = - 2

∫ C 3 v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = ∫ 0 1 6 - 6 t , 2 t - 2 ⋅ - 3 d t , - 2 d t =

= ∫ 0 1 14 t - 14 d t = 7 t 2 - 14 t 0 1 = - 7

Assim temos que somando tudo

9 - 2 - 7 = 0

Resposta

0

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9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(d) intersecção das superfícies z = x 2 + y 2 , x=2, do ponto A(2,0,2) a B(2,4,2 5 )
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(a) elipse x 2 4 + y 2 = 4 , z=2, uma volta completa no sentido anti-horário
15. Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 x + z + 4 i → + y 2 - 3 z - 1 j → + ( x - 3 y + z ) k → sobre uma partícula, ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C é:(b) a parábola y = z 2
9. Calcular ∫ C f → ⋅ d r → , onde f → = r → r → 3 , r → = x , y , z , ao longo dos seguintes caminhos:(b) quadrado x + y = 1 ,z = 0 , no sentido anti-horário;
15. Calcular o trabalho realizado pela força f → = 2 x + z + 4 i → + y 2 - 3 z - 1 j → + ( x - 3 y + z ) k → sobre uma partícula, ao longo de C, de A(2,4,2) a B(2,0,0), onde C é:(a) o segmento de reta