Enunciado

Calcular a integral I = ∫ C [ x e x d x - ( x + 2 y ) d y ] , onde C é:

b) Trajetória parabólica y = - 2 x 2 de (0,0) a (-1,-2).

Passo 1

Bora continuar!

Bom galera, já sabemos que parametrização nada mais é do que definir nossos valores de x, y e z em função de uma variável, tudo bem?

Aqui nós já temos o y em função do x, então nossa letra b já está parametrizada:

x = x

y = - 2 x 2

Achando a derivada de y:

d y = - 4 x d x

Agora só falta o intervalo, ok?

Como nossa variável é o x, e sabendo que a trajetória vai de (0,0) a (-1,-2), o x irá de -1 até 0:

= ∫ - 1 0 x e x d x - x + 2 × - 2 x 2 ( - 4 x d x )

= ∫ - 1 0 x e x d x + 4 x 2 - 4 x 3 d x

= ∫ - 1 0 x e x d x + 4 ∫ - 1 0 x 2 - 4 x 3 d x

Passo 2

Vamos resolver cada integral separadamente:

∫ - 1 0 x e x d x

Resolvendo por partes:

u = x → d u = d x

d v = e x → v = e x

Então:

∫ - 1 0 x e x d x = x e x - ∫ - 1 0 e x d x

= x e x - e x

Aplicando o intervalo:

= ( 0 + 1 e - 1 ) - ( e 0 - e - 1 )

Concluindo que:

∫ - 1 0 x e x d x = - 1 + 2 e

Resolvendo a segunda:

∫ - 1 0 x 2 - 4 x 3 d x = x 3 3 - 4 x 4 4 = x 3 3 - x 4

Aplicando o intervalo:

= 0 + 1 3 - 0 - 1

Então:

∫ - 1 0 x 2 - 4 x 3 d x = 4 3

Aplicando na integral do Passo 1:

= - 1 + 2 e + 4 × 4 3

= 2 e + 13 3

E acabamos !!

Resposta

2 e + 13 3

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Seja F x = r 2 - 2 r x , onde x = x ,y e r = x . Use um SCA para traçar esse campo vetorial em vários domínios, até conseguir visualizar o que ocorre. Descreva a aparência do desenho e explique-o, det