Enunciado

O campo de velocidade de um fluido em movimento é dado por v → = 3 j ^ + k ^ . Determinar a circulação ao fluido ao redor do quadrado de vértices A 0,0 , 0 ,   B 2,0 , 0 , C 2,0 , 2 e D ( 0,0 , 2 ) .

Passo 1

Precisamos inicialmente parametrizar nossas curvas afim de aplicar na equação abaixo

∫ C v → r → t ⋅ d r → t

Onde teremos que

∫ C v → r → t ⋅ d r → t = ∫ C 1 v → r 1 → t ⋅ d r 1 → t + ∫ C 2 v → r 2 → t ⋅ d r 2 → t + ∫ C 3 v → r 3 → t ⋅ d r 3 → t

Passo 2

Vamos parametrizar as curvas primeiro.

Para C 1

0,0 , 0 → ( 2,0 , 0 )

r → 1 t = t , 0,0 ,   t ∈ [ 0,2 ]

Para C 2

2,0 , 0 → ( 2,0 , 2 )

r → 2 t = 2,0 , t ,   t ∈ 0,2

Para C 3

2,0 , 2 → ( 0,0 , 2 )

r → 3 t = 2 - t , 0,2 ,   t ∈ 0,2

Para C 4

0,0 , 2 → ( 0,0 , 0 )

r → 4 t = 0,0 , 2 - t ,   t ∈ 0,2

Passo 3

Agora para não ficar confuso, vamos escrever nossos v → i

v → r → 1 t ⋅ d r → 1 = 0,3 , 1 ⋅ d t , 0,0 = 0

v → r → 2 t ⋅ d r → 2 = 0,3 , 1 ⋅ 0,0 , d t = d t

v → r → 3 t ⋅ d r → 3 = 0,3 , 1 ⋅ - d t , 0,0 = 0

v → r → 4 t ⋅ d r → 4 = 0,3 , 1 ⋅ 0,0 , - d t = - d t

Assim nossa integral se resume a

∫ C v → r → t ⋅ d r → = ∫ 0 2 d t - ∫ 0 2 d t = 0

Resposta

0

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