Enunciado

7. Determinar o trabalho realizado pela força conservativa f → = y z , x z , x y + 1 nos seguintes deslocamentos:

(b) ao longo do arco de parábola x = y 2 - 1 , z = 2 , do ponto A(-1,0,2) ao ponto B(3,-2,2);

Passo 1

Como ele já nos diz que é conservativa,

vamos determinar a função potencial u(x,y,z).

Temos

∂ u ∂ x = y z                 1

∂ u ∂ y = x z                 2

∂ u ∂ z = x y + 1                     3

Integrando a equação (1) em relação a x, ficamos com

u = ∫ y z   d x

u = x y z + a y , z

Obs: aqui a y , z é a constante de integração (ela é constante em relaçao a x)

Agora derivamos esse resultado em relação a y

∂ u ∂ y = x z + ∂ a ∂ y

Se compararmos agora com a equação (2), percebemos que

∂ a ∂ y = 0

Então a é constante em relação a y também, então podemos escrever a z .

Substituindo na expressão de u

u = x y z + a z

Derivando esse resultado em relação a z

∂ u ∂ z = x y + ∂ a ∂ z

Comparando com a equação (3), temos que

∂ a ∂ z = 1

Se integrarmos em relação a z, ficamos com

a = z + C

Onde C é a constante de integração final.

Substituindo na expressão de u

u = x y z + z + C

Por final, temos

∫ C f → ⋅ d r →   = u 3 , - 2 , 2 - u - 1 , 0 , 2

= ( 3 × - 2 × 2 + 2 + C ) - ( - 1 × 0 × 2 + 2 + C )

= - 12 + 2 + C - 0 - 2 - C

= - 12

Resposta

-12

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F x , y = x , - y
Determine o campo vetorial gradiente f . f x , y = cos ⁡ x - 2 s i n ⁡ ( y )
Esboce o campo vetorial F → desenhando o diagrama como na figura 5 ou figura 9.
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