Enunciado

Em casa um dos problemas de 1 a 4, determine ω 0 , R e δ , de modo a escrever a expressão dada na forma s = R cos ⁡ ω 0 t - δ .

s = - 2 cos ⁡ π t - 3   s e n   π t

Passo 1

Vamos fazer algo simples. Não estamos interessados na física do capítulo, mas apenas na matemática. Assim tome a equação 12 dada por

s = A cos ⁡ ω 0 t + B   s e n   ω 0 t

Dela vamos supor escrever por conveniência ela da forma que queremos

s = R cos ⁡ ( ω 0 t - δ )

Que se abrirmos usando nossa conhecidas relações trigonométricas, temos

s = R cos ⁡ δ cos ⁡ ω 0 t + R   s e n   δ   s e n   ω 0 t

Assim só disso que precisamos pra resolver nosso problema

Passo 2

Olhando para nosso passo 1, a única pessoas que precisamos ajeita é a parte do delta, certo?

Assim queremos que

R cos ⁡ δ = 2 R   s e n   δ = 3

Assim é o que precisamos resolver.

Vamos elevar cada termo ao quadrado e soma-los, simples não ?

O que nos dá

R 2 cos 2 ⁡ δ + R 2 s e n 2 δ = R 2 = 4 + 9 = 13

Assim temos que

R = 13

Passo 3

E temos também pela divisão entre eles que

tan ⁡ δ = 3 / 2

Assim

δ ≈ 0,9828  

Que é a mesma coisa que

δ = arccos ⁡ 2 13 ≈ 0,9828

Assim teremos então

s = - 2 cos ⁡ π t - 3   s e n   π t = - 13 cos ⁡ 0,9828 cos ⁡ π t - 13   s e n 0,9828   s e n   π t

Que pode ser resumido em

s = - 13 cos ⁡ ( π t - 0,9828 )

Mas agora perceba, imagine que tenhamos cos ⁡ a - π , então abrindo

cos ⁡ a - π = cos ⁡ a cos ⁡ π + s e n   a   s e n   π = - cos ⁡ a

Assim tecnicamente, podemos fazer que

- cos ⁡ π t - 0,9828 = cos ⁡ π t - 0,9828 - π ≈ cos ⁡ π t - 4,1244

Assim temos que

s = 13 cos ⁡ π t - 4,1244

Resposta

R = 13 ,   ω 0 = π   e δ = 4,1244   r a d

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