Enunciado

Case as funções f com os desenhos de seus campos vetor gradiente.

f x , y = x 2 + y 2

Passo 1

O exercício fornece a função f x , y = x 2 + y 2 e pede para dizermos qual dos gráficos representa o campo vetor gradiente. Para isso, o primeiro passo é achar o vetor grandiente:

∇ f x , y = f x x , y i ^ + f y x , y j ^

Temos que

f x = 1 2 x 2 + y 2 ⋅ 2 x = x x 2 + y 2

f y = y x 2 + y 2

Assim,

∇ f x , y = x x 2 + y 2 i ^ + y x 2 + y 2 j ^ = 1 x 2 + y 2 ( x i ^ + y j ^ )

Passando para coordenadas polares, vemos que

r = x 2 + y 2               e             r → = x i ^ + y j ^

Assim,

∇ f x , y = r → r = r ^

Portanto, o campo deve ser radial, apontando para fora da origem e todos os vetores devem ter módulo 1 . Os gráficos I e II apresentam campos radiais, mas apenas no I os módulos dos vetores são constantes!

Resposta

I

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